Лекції - Моделі і методи АПР

1.doc (11 стор.)
Оригінал


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
^

Метод кінцевих різниць.



В САПР рішення диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь з приватними похідними виконується чисельними методами. Ці методи засновані на дискретизації незалежних змінних - їх поданні кінцевим безліччю значень у вибраних вузлових точках досліджуваного простору. Ці точки розглядаються як вузли деякої сітки, тому використовувані в САПР методи - це сіткові методи.

Серед сіткових методів найбільшого поширення набули два методи: метод кінцевих різниць (МКР) і метод скінченних елементів (МСЕ). Зазвичай виконують дискретизацію просторових незалежних змінних, тобто використовують просторову сітку. У цьому випадку результатом дискретизації є СЗДР для задачі нестаціонарної або система алгебраїчних рівнянь для стаціонарної.

Метод кінцевих різниць історично почав розвиватися раніше МСЕ і є найстарішим методом вирішення крайових задач.

Алгоритм МКР складається з етапів, традиційних для методу сіток:

Етап 1. Побудова сітки в заданій області. У МКР використовується сітка, що задається кінцевим безліччю вузлів. У вузлах сітки визначаються наближені значення шуканої функції . Сукупність силових значень називають сітковою функцією.

Етап 2. Заміна диференціального оператора у вихідному диференціальному рівнянні відомим аналогом L h, побудованим за однією із схем розглянутих нижче. При цьому безперервна функція апроксимується сітковою функцією .

Етап 3. Рішення отриманої системи алгебраїчних рівнянь.

При уявній простоті алгоритму МКР його практична реалізація наштовхується на ряд труднощів. Для з'ясування їх природи доцільно розглянути основні етапи МКР більш докладно.

^ Побудова сітки в заданій області.

У МКР користуються, як правило, регулярні сітки, крок яких або постійний, або змінюється по нескладному закону. Нижче на рис. 1 наведено приклад побудови сіток в МКР.



Рис. 1. Приклади побудови сіток в МКР.

Для одновимірних областей побудова сіток мало чим відрізняється від аналогічної процедури в МКР. Відрізок довжиною L розбивається на N частин (рис. 1, а). Відстань між двома сусідніми вузлами називається кроком сітки при i = 1, 2, ..., N. При регулярній сітці крок - Постійна величина, що дорівнює 1 / (N -1), де N - кількість вузлів сітки.

Для двомірної області підхід до побудови сітки істотно відрізняється від аналогічної процедури в МКР. Нехай в якості області зміни функції заданий прямокутник (рис. 1, б). Осі х і у розбиваються на відрізки, які є кроками сітки з відповідних напрямків. Через точки ділення проводяться прямі, паралельні осях координат. Сукупність точок перетину (вузлів) цих прямих і утворює сітку в заданій двомірної області. Сусідніми вузлами такої сітки називаються вузли, відстані між якими дорівнює кроку сітки по одній з осей.

Спосіб побудови сітки не змінюється і в тому випадку, якщо задана область довільної форми (рис. 1, в). Вузли сітки, що потрапили всередину області, називаються внутрішніми вузлами. Точки перетину прямих, що утворюють сітку, з кордоном області називаються граничними вузлами.

Навіть у випадку постійних кроків сітки по осях х і у в області наявні граничні вузли, віддалені від найближчих до них внутрішніх вузлів на відстань, меншу кроку за відповідним напрямом. Тому для двомірної області довільної форми сітка в загальному випадку завжди є нерегулярною, причому особливості геометрії враховуються тільки в окологранічних вузлах.

^ Заміна диференціального оператора різницевим аналогом.

Цю процедуру легко проілюструвати на наступному простому прикладі. Нехай неперервна функція , Визначена на відрізку (рис. 1, а), описується диференціальним рівнянням

(1)

де А - константа; задано також граничне умова і при дискретизації області була побудована сітка з постійним кроком h.

Замінимо диференційний оператор різницевим:

(2)

Де - Права різницева похідна.

Підставивши (2) в (1), отримаємо різницеве ​​рівняння

(3)

Помноживши (3) на h і вважаючи послідовність х = 0, h, 2h, ..., перейдемо до системи алгебраїчних рівнянь:

(4)

Вирішуючи (4) відносно сіткової функції, знайдемо таблицю значень, апроксимуючу рішення крайової задачі (1). При зменшенні кроку h сітка стає все «гущі», а таблиця значень сіткової функції - все докладніше. При необмеженому прагненні кроку до нуля можна було б отримати значення шуканої функції в кожній точці області. Але, в реальних випадках ступінь наближення до точного рішення обмежується низкою факторів, найважливішим з яких є розмірність результуючої системи рівнянь (4).

Для апроксимації диференціального оператора різницевим крім (2) часто користуються виразом:

(5)

Де - Ліва різницева похідна.

Крім того, для апроксимації , Можна скористатися будь-якої лінійної комбінацією (2) - (5), тобто



Де - Будь-яка речова константа.

При диференційний оператор апроксимується центральної різницевої похідної.

(6)

Підставивши (6) в (1), отримаємо інший різницевий аналог крайової задачі (1):

.

Зручним геометричним зображенням схем побудови різницевих похідних є шаблони.

На рис. 2 наведені шаблони, відповідні правої (рис. 2, а), лівої (рис.2, б) і центральної (рис. 2, в) різницевим похідним.



Рис. 2. Приклади шаблонів у одновимірної області, відповідних різницевим похідним: а - правою, б - лівої, в - центральною.

При переході від диференціальної крайової задачі до різницевої необхідно також апроксимувати граничні умови. У розглянутому прикладі (1) граничні умови при використанні (2) можна апроксимувати точно:

(7)

Сукупність різницевого рівняння і різницевих крайових умов називається різницевої схемою крайової задачі.

У нашому прикладі рівняння (3) і (7) є різницевої схемою крайової задачі (1).

Удавана простота побудови різницевої схеми в розглянутому прикладі оманлива. У реальних задачах при побудові різницевих схем виникають проблеми. При дослідженні різницевих схем навіть простих лінійних задач часто з'ясовується, що різницева схема дає рішення, що не сходящееся при подрібненні сітки до точного рішення диференціальної задачі. Тому побудова сходящейся різницевої схеми - центральний і найбільш складне питання МКР.

Поняття збіжності різницевої схеми тісно пов'язане з поняттями точності і стійкості.

Нехай точне значення неперервної функції у вузлі з координатою x = x h одно , А отримане значення точної функції в тому ж вузлі . Якщо похибка прагне до нуля при прагненні до нуля кроку h і має k-й порядок відносного кроку, то прийнято говорити, що різницева схема має k-й порядок точності в n-му вузлі.

Аналогічно для визначення порядку апроксимації обчислюють похибку між точним і наближеним значеннями похідної в n-му вузлі:

При цьому порядок похибки щодо кроку впадає з порядком апроксимації диференціального різницевим оператором в n-му вузлі.

Для визначення порядку точності багатьох практичних різницевих схем досить визначити порядок апроксимації диференціального оператора різниці, так як порядки точності та апроксимації для них збігаються. Однак різницева схема, для якої таке підтвердження може бути доведено, повинна володіти ще однією важливою властивістю - стійкістю.

^ Стійка різницева схема - схема, в якій не відбувається нарощування малих помилок округлення, допущених на початкових стадіях вирішення.

Для багатьох крайових задач збіжність різницевої схеми є наслідком апроксимації нею крайової задачі і стійкості. При цьому порядок збіжності щодо кроку збігається з порядком апроксимації.

Для гладких нерозривних функцій добре розвинений математичний апарат вивчення апроксимації та докази стійкості різницевих схем.

Необхідність дослідження збіжності вперше побудованої різницевої схеми обумовлює той факт, що основу програмних реалізацій в САПР становлять цілком конкретні, добре вивчені для певних завдань різницеві схеми.

Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації