Лекції - Теорія систем і системний аналіз

Тема 1.Лекція 1_Вводная.doc (1 стор.)
Тема 2.Лекція 2_Основние понятія.doc (1 стор.)
Тема 3_Реалізація СА, показателі.doc (1 стор.)
Тема 4_Вибор.doc (1 стор.)
Тема 5.Лекція 5_ЛП.doc (1 стор.)
Тема 5.Лекція 6_НП.doc (1 стор.)
Тема 6_Лекція 7_ Багатокритеріальні задачі.doc (1 стор.)
Тема 7_Лекція 8_Вибор в умовах ріска.doc (1 стор.)
Тема 8-9_Лекція 10_Ігра з природою, СА істочніков.doc (1 стор.)
Тема 8_Лекція 9_Теорія ігр.doc (1 стор.)
Оригінал


ТЕМА 8. ПРИЙНЯТТЯ РІШЕННЯ В УМОВАХ

НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

Лекція 8.




  1. Випадок відомих ймовірностей. Вибір в умовах ризику


1.1. Корисність очікуваних результатів

1.2. Функція корисності при наявності ризику

1.3. Дерево рішень

  1. Ентропія системи. Принцип максимізації ентропії




  1. Випадок відомих ймовірностей. Вибір в умовах ризику


Розглянемо задачу вибору, коли рішення може призвести не до одного, а до кількох результатами з різними ймовірностями їх здійснення. Якщо ці ймовірності відомі, то складність завдання буде залежати від кількості показників системи.

Розглянемо процес прийняття рішення у випадку одного показника. Оскільки нам належить формувати функцію корисності, визначимо ще раз, що ми будемо розуміти під терміном «корисність», «функція корисності».


    1. . Корисність очікуваних результатів


У процесі вибору варіанта рішення нам часто буває необхідно враховувати індивідуальне ставлення людей до аналізованим показниками, і ми оцінюємо корисність очікуваних результатів. Корисність, або показник корисності - це число, яке приписують конкретного результату, наприклад, робочій характеристиці або станом системи, і представляє собою оцінку значущості цього результату по сприйняттю певної людини або групи людей. Наприклад, важливими чинниками є фінансові витрати, економічний виграш, вага конструкції. При наявності єдиного критерію і певного зв'язку між варіантами вирішення і значенням цього критерію (цільової функції, або функції корисності) ми маємо задачу лінійного (або нелінійного) програмування. У реальних задачах однозначно визначити вид функції корисності часто не представляється можливим. Розглянемо це на простому прикладі.

Більше 200 років тому Бернуллі, розглядаючи питання про корисність багатства, прийшов до висновку, що заданий приріст багатства не обов'язково принесе строго певний приріст щастя (задоволення). Навпаки, чим більшим багатством володіє людина, тим менше буде добавка корисності на певну величину збільшення багатства. Тобто мільйонер отримає від подарунка в 100 доларів набагато менше задоволення, ніж бідняк. Бернуллі припустив, що прирощення корисності обернено пропорційно багатству людини і вивів формулу



де u - корисність багатства, x - багатство, b - коефіцієнт пропорційності. Інтегруючи, отримаємо u = b  ln x + C. Якщо покласти b = C = 1, то u =  ln x, а якщо b = lg e, то

u = lg x.

Припустимо, що прирощення корисності пропорційно і збільшенню корисності, якого не вистачає для «повного щастя», і збільшенню кількості грошей. Це означає, що якщо хтось відчуває повне задоволення від наявного багатства, то прирощення багатства вже не дає людині прирощення задоволення. Тоді ми можемо записати наступну залежність:

du = b (1-u)  dx,

де u = 1 відповідає випадку повного задоволення. Прийнявши u = 0 для x = 0, в результаті інтегрування отримаємо

u = e-bx.

Ця функція також описує більш повільне зміна корисності, ніж лінійна.

Такі функції корисності можуть використовуватися для оцінки переваги тієї чи іншої альтернативи (варіанти рішення). різний вид функцій корисності може відображати різні психологічні установки людей, умови навколишнього середовища, що впливають на рішення і т.п.


    1. . Функція корисності при наявності ризику


Вище було сказано, що одним з найважливіших факторів, що враховуються в процесі прийняття рішення, є фінансові витрати. Виберемо їх в якості показника деякої системи і сформулюємо завдання вибору таким чином:

необхідно визначити програму дій за наявності ризику у витрачанні коштів, який обумовлений можливістю одержання декількох результатів при здійсненні прийнятого рішення.

Нехай можливий діапазон витрат на здійснення програми складає 2  10 7 - 3  10 липня рублів. Якщо метою використання є вибір програми з мінімальними витратами, то найбільш бажаного нагоди будуть відповідати витрати, складові 2  10 липня рублів, а найменш бажаного -3  10 липня рублів. Тут ми чинимо так само, як і при формуванні функції корисності, або цільової функції в умовах визначеності. Приймаємо корисність при витратах 2  10 7 - u 2 = 1, а корисність при 3  10 7 - u 2 = 0.

Щоб визначити корисність рішення для проміжних витрат, використовуємо наступний постулат:

якщо результат R i має здійснення p i, то корисність рішення за наявності ризику визначається середнім значенням корисності (математичним очікуванням):

, (1)

де u i - корисність результату R i.

Розглянемо ситуацію, коли треба вибрати з двох подій (це може бути, наприклад, вибір між варіантами страховки або програмами розвитку району), кожне з яких може привести до тих чи інших витрат, величина яких носить імовірнісний характер:

і .

Якщо група осіб із загальними інтересами не віддає переваги жодному з двох подій, то це означає, що (u 1) = (u 2), де (u 1) - середня корисність події 1, а (u 2) - середня корисність результату 2.

З цієї умови можна визначити корисність кожного з можливих результатів R i. Нехай, наприклад, подія 1 являє собою витрати або в сумі 2  10 липень руб. з імовірністю р, або в сумі 3  10 липня з імовірністю 1-р. Тоді

(U 1) = pu 2 + (1 - p) u 2 (2)

Так як = 1 і = 0, отримаємо (u 1) = р.

Нехай подія 2 являє собою витрати в 2,7  10 липня руб. з імовірністю 1, то

(U 2) = 2,7  10 7.

Умова відсутності переваги при виборі між подіями 1 і 2 записується як (u 1) = (u 2), тоді отримаємо, що u 8,5 = р.

З цього випливає, що якщо можна знайти таке значення р, при якому група зі спільними інтересами не віддає переваги жодному з подій 1 або 2, то можна сказати, що корисність витрат в 2,7  10 липня дорівнює р.





Рис.2. Криві корисності, що характеризують різне ставлення К5 ризику консервативного керівника (1) і керівника, схильного до ризику (2).




Рис.1. Залежність корисності від витрат для груп осіб, не схильних до ризику (А), і для групи осіб, байдужою до ризику (В).




Проте відповідна шкала фактичної вартості реалізації програми не обов'язково буде прямо пропорційна витратам.

Припустимо, наприклад, що прийняте рішення з однаковою 50 -%-й вірогідністю може зажадати витрат в 2  10 липня руб. і в 3  10 липня руб. Якщо середні значення корисностей двох рішень дорівнюють і, отже, ці рішення еквівалентні, то при лінійній залежності між корисністю та витратами прийнятне рішення було б пов'язано з певною сумою витрат дорівнює 2,5  10 Липня руб., Яка реалізується з імовірністю, рівної 1. Однак, щоб уникнути максимальних витрат в сумі 3  10 Липня руб., Ймовірність яких складає 50%, деяка група осіб із загальними інтересами, скоріше погодиться на строго встановлені витрати в 2,7  10 липня руб. Це характерно для осіб, які не бажають ризикувати і готових сплатити дещо більше, ніж прийнятно для всієї групи, щоб уникнути більш небажаного результату. При цьому корисність u 2,7 оцінювалася б як 0,5, оскільки


(U) = 0,5 u 2 +0,5 u 3 = 0,5 (1) + 0,5 (0) = 0,5 = u 2,8.


На рис.1 показані криві корисностей, що відображають різне ставлення людей до ризику. (Знак мінус перед числами означає, що розглядаються витрати, а не прибуток). Проміжні точки кривої А можна розрахувати тим же методом, який використовувався для оцінки u 2,7, тобто шляхом прирівнювання середніх значень (u) для випадку відомих значень корисностей і випадки відомого результату при невідомому значенні корисності. Особа, яка уникає ризику, вимагало б «різницю» можливих корисностей на свою користь, і тому ризикованої ситуації воліє цілком певну (крива А). Крива В відображає лінійну залежність корисності від затрат, характерну для групи осіб, які до ризику відносяться з байдужістю.

На рис.2 показані криві корисностей для двох підприємців, один з яких схильний до ризику (2), а інший - обережний і консервативний (1).


Постулати теорії корисності. Розглянутий вище метод заснований на деяких постулатах, які можна назвати постулатами теорії корисності. Для ряду вірогідних подій А, В, С вони зводяться до наступних.

1) умова транзитивності: якщо А> В (тобто А переважніше, ніж В, і В> С, то А> С і якщо А = В (тобто А еквівалентно В), і В = С, то А = С;

2) випадкова подія переважніше інших тільки в тому випадку, коли ймовірність пов'язаного з ним більш бажаного результату вище, ніж вірогідність менш бажаного результату;

3) при виборі рішення може бути врахований додатковий ризик; це відноситься, наприклад, до ситуації, коли подія А відбувається з імовірністю р, а з імовірністю 1-р відбувається або подія В з імовірністю р ', або подія З імовірністю 1-р'.



Іншими словами,





еквівалентно

4) якщо подія В за переваги займає проміжне місце між подіями А і С, то можна встановити співвідношення еквівалентності між подіями А або С; це означає, що якщо А> B> C, то існує така ймовірність р при 0  р  1, що

B  [p, A; (1-p), C].

На основі цих чотирьох постулатів для деякої змінної може бути визначена єдина функція корисності, яка повинна задовольняти наступним умовам:

якщо А> В, то і u (A)> u (B), тобто корисність події А більше ніж корисність події В, коли А переважніше В.


  1. Дерево рішень







Рис.3. Дерево рішень
Процес вибору при наявності ризику може бути представлений у вигляді графа - так званого дерева рішень. Дерево рішень показує рішення, які можуть бути прийняті, можливі результати та ймовірності отримання цих результатів при здійсненні кожного з цих рішень.

Приклад. Припустимо, що підприємець розглядає питання про розробку і випуск нової продукції. Якщо продукція буде прийнята покупцем, підприємець отримає прибуток, але якщо продукція не буде користуватися попитом, він не виправдовує своїх витрат. Підприємець виходить з того, що його нова продукція буде розпродана з імовірністю 50%. Йому надійшла пропозиція доручити іншій фірмі обстеження ринкового попиту з відповідною оплатою цієї роботи. Аналізуючи попередні звіти, підприємець може бути впевнений на 90%, що якщо ця фірма дасть рекомендацію на освоєння нової продукції, то вона буде прийнята покупцем. Отже він має наступні варіанти вибору рішення:

Дерево рішення, відповідне цій задачі, представлено на рис. 3. Тут на кінцях гілок проставлені значення можливого прибутку при кожному з трьох рішень за умови, що в разі вивчення ринкового попиту фірмі, що проводить таке дослідження треба заплатити 2  10 червня руб.


Якщо зіставити кожної з гілок (рішенням), що відповідає певному результату деяку ймовірність, то можна розрахувати корисність кожного рішення.


2. Ентропія системи. Принцип максимізації ентропії


У розглянутому прикладі існувала можливість дати рекомендації для вибору рішення, оскільки були відомі ймовірності випадкових подій. Однак часто виникають ситуації, коли ці ймовірності невідомі.

Раніше в курсі розглядалися 3 види невизначеностей у системах: а) через недостатнє знання; б) розпливчастість; в) випадкова невизначеність.

Для невизначеності випадкового об'єкта існує кількісна міра (невизначеності), називається ентропією.

Розглянемо найпростіший варіант - випадкова подія. Нехай деяке подія може відбутися з імовірністю Р 1 = 0,99 і не відбутися з імовірністю Р 2 = 0,01, а інша подія має ймовірності Р 1 = Р 2 = 0,5. Очевидно, що в 1-му випадку результатом досвіду «майже напевно» є настання події, у другому випадку невизначеність результату так велика, що від прогнозу краще утриматися.

Якщо ми маємо справу з випадковою числовий величиною, то для характеристики різних розподілів використовується дисперсія або довірчий інтервал.

Д х = для дискретної величини та

Д х =

Однак ці величини мають сенс лише для випадкових числових величин і не можуть застосовуватися до випадкових об'єктів, стану яких розрізняються якісно (наприклад, вибір тих чи інших команд або спортсменів при жеребкуванні і т.п.).

Отже, міра невизначеності, пов'язаної з розподілом випадкової події повинна бути деякою його числовою характеристикою, функціоналом від розподілу, але ніяк не пов'язаним з тим, якою шкалою вимірюються реалізації випадкового об'єкта.

Такий мірою невизначеності випадкового об'єкта А з кінцевим безліччю можливих станів А 1... А n з відповідними ймовірностями р 1... р n величину,

Н = -

яка називається ентропією випадкового об'єкта А (або розподілу  р i ).

Дійсно, будь-яка велика система може розглядатися як система, яка приймає деяке безліч станів S 1, S 2,... S n з імовірностями Р 1, Р 2,.... P n відповідно. Ентропія системи, будучи, як видно з формули, математичним очікуванням логарифма ймовірності перебування системи в деякому стані S, розглядається в якості міри різноманітності для безлічі можливих станів S.

Ця функція відповідає виділеній К. Шенноном в теорії інформації «міру невизначеності». Якщо вибір будь-якого стану равновероятен, то невизначеність вибору максимальна і визначається загальним числом можливих варіантів:

Н = - .

Величина Н (n) еквівалентна поняттю ентропії в статистичній фізиці H = k  ln W, де W (Е) - статистичний вага системи, або кількість можливих квантових станів фізичної системи, внутрішня енергія якої не перевершує Е.

У зв'язку з усім сказаним вище можна записати і ще одне твердження щодо ентропії:

Ентропія Н розглянутої системи є мірою її невпорядкованості.


Приклад з голосуванням: якщо n кандидатів мають однакову ймовірність отримання голосу будь-якого заданого виборця, то, очевидно, що P i = - Ймовірність того, що виборець вибере i-го кандидата. Якщо всі виборці голосують за якогось визначеного кандидата, то можна з певністю сказати, за якого виборця подає голос будь довільно обраний виборець. Такий розподіл буде повністю впорядкованим (Н = Н min).


Розглянемо наступну задачу.

Розрахувати ентропію системи, що складається з виборців і 5 кандидатів на державну посаду для наступних варіантів:


  1. результати соціологічного опитування довільно вибраних 1000 виборців говорять про те, що за кожного з 5 кандидатів виступає приблизно 200 опитаних;

  2. на користь 1-го кандидата висловилося 400 опитаних

2-го 500

Третя 50

4-го 40

5-го лише 10 опитаних

  1. на користь 1-го кандидата висловилося  700 опитаних

на користь 2-го 250

Третя 30

4-го 15

5-го 5

Приклад:

n = 5 неупорядкована більш впорядкована система

система

P i = lnP i = -1,609 P 1 = 0,4 lnp 1 = - 0,916

P 2 = 0,5 lnp 2 = - 0,693

P 3 = 0,05 lnp 3 = - 2,996

P 4 = 0,04 lnp 4 = - 3,219

P 5 = 0,01 lnp 5 = - 4,605


Повністю впорядкована система

Р 1 = 1

Р 2... Р 5 = 0.


Принцип максимізації ентропії полягає в тому, що в ситуаціях, коли розподіл ймовірностей або значення ймовірностей нам невідомі, ми задаємо їх, виходячи з наступного твердження:

Система знаходиться в рівновазі, коли ентропія максимальна, що відповідає повного безладдя. У розглянутому прикладі це відповідає ситуації, коли нам нічого невідомо про розподіл пристрастей виборців, і ми приймаємо ймовірність обрання будь-якого кандидата рівній P i = , Що буде відповідати максимуму ентропії. Це також відповідає рівноважному і найбільш вірогідного стану системи.

Ентропія системи, таким чином, є вельми корисною величиною при моделюванні систем в умовах випадкової невизначеності.
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації