Лекції - Теорія систем і системний аналіз

Тема 1.Лекція 1_Вводная.doc (1 стор.)
Тема 2.Лекція 2_Основние понятія.doc (1 стор.)
Тема 3_Реалізація СА, показателі.doc (1 стор.)
Тема 4_Вибор.doc (1 стор.)
Тема 5.Лекція 5_ЛП.doc (1 стор.)
Тема 5.Лекція 6_НП.doc (1 стор.)
Тема 6_Лекція 7_ Багатокритеріальні задачі.doc (1 стор.)
Тема 7_Лекція 8_Вибор в умовах ріска.doc (1 стор.)
Тема 8-9_Лекція 10_Ігра з природою, СА істочніков.doc (1 стор.)
Тема 8_Лекція 9_Теорія ігр.doc (1 стор.)
Оригінал


ТЕМА 8. Теорії матричних ігор. ГРА З ПРИРОДОЮ


Лекція 10


1. Приклади розв'язання задач при парній грі з нульовою сумою

2. Поняття про гру з «природою».

3. Системний аналіз джерел техногенної небезпеки


1. Приклади розв'язання задач при парній грі з нульовою сумою


Завдання 1.1.

Знайти рішення гри, заданої матрицею А


А = .

Рішення. Перш за все перевіримо наявність сідлової точки в даній матриці.

Для цього знайдемо нижню і верхню ціну гри.

Мінімальні елементи по рядках дорівнюють (2 і 3) тоді нижня ціна гри  = max (2, 3) = 3. Максимальні елементи по стовпцях дорівнюють (3 і 6) тоді верхня ціна гри  = min (3, 6) = 3. Звідси видно, що  =  = 3 і ми маємо сідлову точку . = 3, тобто завдання має рішення в чистих стратегіях.

Оптимальні чисті стратегії для першого і другого гравців дорівнюють відповідно U * = (0; 1), Z * = (1; 0), а ціна гри  = 3.


Завдання 1.2.

Знайти рішення гри, заданої матрицею А


А = .


Рішення. Перш за все перевіримо наявність сідлової точки в даній матриці.

Для цього знайдемо нижню і верхню ціну гри.

Мінімальні елементи по рядках дорівнюють (2 і 3) тоді нижня ціна гри  = max (2, 3) = 3. Максимальні елементи по стовпцях рівні (4 і 6) тоді верхня ціна гри  = min (4, 6) = 4. Звідси видно, що    і ми маємо гру, яка має рішення в змішаних стратегіях, а ціна гри     .

Припустимо, що для першого гравця змішана стратегія задається вектором U = (u 1; u 2). Перший гравець, якщо дотримується своєї оптимальної стратегії, незалежно від стратегії другого гравця отримує ціну гри , тобто


4u 1 * + 3u 2 * =  (1)

2u 1 * + 6u 2 * = .


Крім цього відносні частоти пов'язані умовою:


u 1 * + u 2 * = 1.


Вирішуємо отриману систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Отримаємо оптимальну стратегію першого гравця і ціну гри:


U * = (u 1 *; u 2 *) = (3/5, 2/5),  = 18/5.


Складемо рівняння для знаходження оптимальної стратегії другого гравця, якщо при будь чистої стратегії першого, другий програє ціну гри:


4z 1 * + 2z 2 * =  = 18/5 (2)

3z 1 * + 6z 2 * =  = 18/5.


Вирішуємо отриману систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Отримаємо оптимальну стратегію другого гравця:


Z * = (z 1 *; z 2 *) = (4/5; 1/5).


Розглянемо геометричну інтерпретацію цього завдання в змішаних стратегіях. Для цього в площині введемо систему координат і на горизонтальній осі Ou відкладемо ймовірність застосування першим гравцем його двох стратегій, сума цих ймовірностей дорівнює 1, тому весь графік розташується на відрізку одиничної довжини. У точках 0 стратегія (1; 0), а в 1 стратегія (0; 1).



Малюнок 1.

По осі ординат в точці 0 відкладемо виграші першого гравця по першій його стратегії при обох стратегіях другого, а в точці 1 при другій стратегії першого гравця. З'єднаємо ці платежі по стовпцях, тоді перетин прямих дадуть рішення системи рівнянь (1), а ордината цієї точки ціну гри .

Аналогічно можна побудувати графік для знаходження оптимальної стратегії другого гравця.

Ми розглянули тільки найпростіший варіант парної матричної гри з нульовою сумою, але вона досить наочно показує, що іноді можна кількісно оцінити і вибрати оптимальний варіант поведінки в конфліктній ситуації.


2. Поняття про гру з «природою»


Невизначеність в ситуації прийняття рішення далеко не завжди пов'язана з свідомим протидією партнера. Часто буває, що ми не диспонуємо точною інформацією про поведінку партнера і це викликає невизначеність у грі з ним. У таких випадках як матрична гра буде називатися грою з природою.

У цих умовах гравцеві (особі що приймає рішення) здавалося б легше знайти рішення, але навіть в умовах відсутності активної протидії, його вибір повинен бути обгрунтований.

У матричній грі з «природою» ставиться завдання пошуку оптимальної стратегії в умовах ризику. Введемо чітке математичне визначення ризику в матричній грі з «природою».

Ризиком r ij гравця при виборі стратегії А i в умовах H j називається різниця

r ij = b j - a i,

де b j - максимальний елемент в j - му стовпці.

Іншими словами ризик при виборі стратегії А i це програш в порівнянні з тим випадком, коли гравець знав би умова при якому він може отримати виграш b j.

Приклад:

Знайдемо матрицю ризику R для наступної матриці гри А.


A = ; R =


Розглянемо найбільш поширені критерії вибору стратегії за умови невизначеності в матричній грі з «природою».


1. Критерій максимального математичного очікування виграшу.

Припустимо, що невизначеність станів природи (доброкачест-жавна), тобто ймовірності станів P j відомі, обчислимо математичне сподівання виграшу першого гравця, тобто вибрати стратегію задовольняє умові

a i = P j a ij  max.

Слід зазначити, що точно та ж стратегія відповідає мінімальному математичному очікуванню ризику

r i = P j r ij  min.


Приклад:

Нехай розподіл імовірності станів природи в останній задачі дорівнюють:

P (H 1) = 2/5; P (H 2) = 1/5; P (H 3) = 1/5; P (H 4) = 1/5;

Тоді

a 1 = 13/5; a 2 = 69/5; a 3 = 13;  a = max (13/5, 69/5, 13) = 69/5 = 13,8.

Отже оптимальною за цим критерієм є стратегія А 3.


Далі розглянемо критерій мінімального математичного очікування ризику

r 1 = 78/5; r 2 = 22/5; r 3 = 26/5;  r = min (78/5, 22/5, 26/5) = 22/5 = 4,4.


2. Критерій Вальда (Максимін).

Критерій Вальда збігається з вкрай обережною Максимін стратегією

.


3. Критерій мінімального ризику Севідж.

Критерій рекомендує вибирати стратегію, при якій величина ризику приймає найменше значення в самій несприятливій сетуаціі



Гравець, що застосовує критерій Севідж, також дотримується позиції песимізму, що орієнтується на мінімально можливий ризик

4. Критерій Гурвіца.

Критерій Гурвіца відповідає всім проміжним стратегіям між песимізмом і крайнім оптимізмом. Виграш розраховується за формулою:

, 0    1,

де  - коефіцієнт песимізму; чим більше гравець хоче підстрахуватися тим більше значення  він вибирає. При  = 1 критерій Гурвіца відповідає критерію крайнього песимізму, критерієм Вальда.

ТЕМА 9. СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ДЖЕРЕЛ

ТЕХНОГЕННОЇ НЕБЕЗПЕКИ


Системний аналіз джерел і факторів техногенної та екологічної небезпеки може бути проведений на основі методологічних принципів, запозичених з теорії підготовки та обгрунтування рішень по складних проблем.

При цьому сукупність джерел небез ності, що знаходяться в регіоні або на окремих її територіях, слідуючи системному підходу, потрібно розглядати як складну систему.

У свою чергу кожен з джерел може також розглядатися в якості системи, але системи, що знаходиться на більш низькому ієрархічному рівні.


Системний аналіз сукупності джерел техногенної небезпеки доцільно проводити з урахуванням певного безлічі факторів, у тому числі факторів радіаційної, хімічної природи, економічних, психологічних та ін

В якості альтернативного варіанту може розглядатися кожен з джерел техно генної небезпеки. Застосовуючи математичні методи вибору і обгрунтування рішень в умовах невизначеності, неминуче виникає при багатофакторному аналізі, представляється можливим провести ранжування небезпечних об'єктів по наперед заданими ознаками і властивостями. При цій ранжировке передбачається послідовне повторення процедур вибору об'єктів по мірі їх виведення з прийнятою для аналізу сукупності і перекладу в ранжіровочний ряд.


Системний аналіз окремого джерела техногенної небезпеки також повинен грунтуватися на застосуванні процедур вибору та бути багатофакторним.

В якості альтернативних варіантів в цьому випадку можна прийняти різні стану небезпечного об'єкта та навколишнього середовища, що характеризуються значеннями певного параметра або співвідношеннями параметрів. В якості такого параметра доцільно розглядати рівень безпеки, виражений, наприклад заходів, через величину ризику. Прикладом співвідношення параметрів є співвідношення "користь - витрати". Під користю тут мається на увазі ступінь досягнення безпеки (відвернена збиток), під витратами - витрати на вжиття заходів безпеки.

У число факторів, що беруться до уваги при здійсненні ухвалення рішення в умовах невизначеності) найбільш при
емлемой стану об'єкта і навколишнього середовища, слід включити економічні витрати на досягнення того чи іншого рівня безпеки
ності (якщо цей фактор не враховується у згадуваному вище параметрі), психологічне страхітливе вплив на населення, вплив на соціальне середовище і економіку і.т.д. Результатом системного аналізу окремого джерела техногенної небезпеки може бути оптимальний, з урахуванням всіх прийнятих факторів, варіант. Можуть бути й доцільні варіанти стану об'єкта і навколишнього середовища, обгрунтовані за умови введення тих чи інших обмежень, наприклад, на економічні витрати, пов'язані із забезпеченням безпеки.

У кінцевому рахунку, при системному аналізі джерела техногенної небезпеки може бути отриманий цілий ряд варіантів, що відрізняються введеними обмеженнями, які далі можуть включатися для експертної оцінки. Таким чином, результатом системного аналізу окремого джерела може також бути ранжування станів об'єкта і навколишнього середовища за рівнем техногенної небезпеки або іншою ознакою при заданих обмеженнях.

Методологія системного аналізу сукупності техногенно небезпечних об'єктів та окремого об'єкта має багато спільного. Тому подальше її розгляд буде проведено в єдиному ключі.

Прийняття рішень. Як відомо, процес прийняття рішення являє собою дію над безліччю альтернатив, в результаті якого знаходиться одна альтернатива або підмножина альтернатив (коли неможливо зупинити вибір на одній альтернативі), яка задовольняє (задовольняє) певним умовам або цілі,

Існує кілька способів порівняння альтернатив між собою та визначення найбільш переважних з них. Найбільш розвиненим і частіше за інших застосовуваним є спосіб, заснований на критеріальною мовою вибору. При цьому способі кожна окрема альтернатива оцінюється конкретним числом, що є значенням критерію.


Вибір оптимального варіанту відповідно до наведеного пра-Шломо не є, взагалі кажучи, однозначним, оскільки максимальний результат може досягатися в множині всіх результатів багаторазово.

.

Завдання, розв'язувані методом системного аналізу джерел техногенної небезпеки, є багатокритеріальної. Тому завдання вибору набуває практичний сенс лише в тому випадку, коли використовується метод вибору рішення, при якому багатокритеріальна задача зводиться до однокрітеріальним.

Багатокритеріальні задачі, пов'язані з ранжируванням техногенно та екологічно небезпечних об'єктів і станів одного з них, можуть вирішуватися за допомогою двомірної матриці.


Фактори при ранжуванні джерел техногенної небезпеки. Безліч чинників, що беруться до уваги при ранжуванні джерел техногенної небезпеки, на наш погляд, має включати принаймні:


При системному аналізі окремого джерела техногенної небезпеки і виборі стану об'єкта і навколишнього середовища можуть бути прийняті ті ж самі фактори. Однак їх перелік, в залежності від цілей аналізу, може і повинен бути змінений.

Склад безлічі джерел техногенної небезпеки або стану об'єкта і навколишнього середовища особливих коментарів не вимагає.

Аналіз способів і процедур, використовуваних для виходу зі стану невизначеності при вирішенні багатокритеріальних задач, дає можливість вибрати ті з них, якими можна було б скористатися три системному аналізі джерел техногенної небезпеки. До числа цих способів можна віднести:

- Спосіб вибору з використанням оціночної (цільової) функції;

спосіб вибору з відборів недомініруемих альтернатив і викорис-
танням множин Парето.
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації