Лекції ТФКП

Lect00.doc (1 стор.)
Лекція 10.doc (1 стор.)
Лекція 11.doc (1 стор.)
Лекція 12.doc (1 стор.)
Лекція 13.doc (1 стор.)
Лекція 14.doc (1 стор.)
Лекція 15.doc (1 стор.)
Лекція 16.doc (1 стор.)
Лекція 17.doc (1 стор.)
Лекція 1.doc (1 стор.)
Лекція 2.doc (1 стор.)
Лекція 3.doc (1 стор.)
Лекція 4.doc (1 стор.)
Лекція 5.doc (1 стор.)
Лекція 6.doc (1 стор.)
Лекція 7.doc (1 стор.)
Лекція 8.doc (1 стор.)
Лекція 9.doc (1 стор.)
Оригінал






Лекція 5
Теорема Коші для багатозв'язних областей

Нехай область D - двозв'язним, іншими словами, її не можна стягнути в точку за рахунок деформації граничного контуру . Приклад такої області наведено на малюнку: всередині області міститься область , Обмежена контуром Г.




Потрібно, як і вище, знайти контурний інтеграл



Виберемо довільну точку А на L і з'єднаємо її з точкою В на Г. За відрізку АВ виконаємо математичний розріз (розріз, який не має ширини), як показано на малюнку справа. Точка А збігається з точкою , А В - з . Розрізана таким чином область перетворюється на однозв'язний з граничним контуром .

Будемо рухатися так (уздовж контуру): . У цьому випадку розібрана вище теорема Коші дає:

.

.

У загальному випадку, коли область D є -Зв'язкова область, тобто містить всередині себе n областей, виходить:

Теорема Морера

Нехай - Функція, безперервна в області D. Якщо для будь-якого замкнутого непересічного контуру, цілком лежить в області D, справедливо рівність , То функція голоморфних в області D.

Доказ:



звідки випливають умови Коші-Рімана.


^ Інтеграл Коші
Розглянемо деяку функцію f (z), голоморфних в однозв'язної області D. На контурі L функція не обов'язково голоморфних, але обов'язково безперервна. Вона також безперервно продолжіма на контур L з будь-якої внутрішньої точки області D. Нехай - Деяка внутрішня точка області .








При цьому справедлива формула - Формула Коші.

Доказ:

Розглянемо функцію - Голоморфних в області D за винятком точки з координатою , Де вона не визначена.

Оточимо точку М (z) контуром Г. Тоді по теоремі Коші для багатозв'язних областей отримаємо



Т ак як функція голоморфних всюди, крім точки z, то контур Г - довільний. Потрібно лише, щоб він охоплював точку M і лежав всередині контуру . В якості Г візьмемо коло, радіус якої прагне до нуля.


Введемо локальну систему координат з центром в точці M. Нехай

. Виконаємо граничний перехід


Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації