Лекції - Аналітична геометрія

1.doc (1 стор.)
Оригінал


КОРОТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

ПО АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ


Короткий конспект лекцій з аналітичної геометрії призначений для самостійної роботи студентів очної, очно-заочної та заочної форм навчання з дисципліни «Алгебра та геометрія». Містить теоретичний матеріал, приклади розв'язання та контрольні питання з даного розділу вищої математики.


ЗМІСТ



Введення

4

Лекція 1. Метод координат

5

Лекція 2. Прямі на площині

8

Лекція 3. Прямі в просторі

12

Лекція 4. Площини у просторі

14

Лекція 5. Криві другого порядку

18

Контрольні питання

23


ВСТУП


Короткий конспект лекцій з аналітичної геометрії призначений для самостійної роботи студентів очної, очно-заочної та заочної форм навчання з дисципліни «Алгебра та геометрія». Містить теоретичний матеріал, приклади розв'язання та контрольні питання з даного розділу вищої математики.


Лекція 1

Метод координат

Контрольні питання:

1. Відстань між двома точками і на площині.

2. Знаходження координат точки М, що ділить у відношенні λ заданий відрізок.

3. Знаходження площі трикутника за координатами його вершин.


Метод координат полягає у встановленні відповідності між точками прямої (площини, простору) і їх координатами - дійсними числами за допомогою системи координат.

Прямокутна система координат Оху на площині задається двома взаємно перпендикулярними прямими, на кожній з яких вибрано позитивний напрямок і заданий одиничний відрізок.

Координатами точки М в системі координат Оху називаються координати радіус-вектора .

Відстань між двома точками і на площині обчислюється за формулою

. (1)

Координати точки М, що ділить в заданому відношенні λ відрізок АВ, де , , , Знаходяться за формулами

, . (2)

Якщо λ = 1, тобто точка М ділить відрізок АВ навпіл, виходять формули координат середини відрізка

, . (3)

Площа трикутника з вершинами , , обчислюється за формулою

, Де . (4)

Приклад 1. Відрізок AB чотирма точками розділений на п'ять рівних частин. Визначити координату найближчої до A точки ділення, якщо A (-3), B (7).

Рішення.

Нехай - Шукана точка; тоді .

Отже, за формулою знаходимо , Тобто С (-1).


Приклад 2. Відомі точки А (1), У (5) - кінці відрізка АВ; поза цього відрізка розташована точка С, причому її відстань від точки А в три рази більше відстані від точки В. Визначити координату точки С.

Рішення.

Відзначимо, що . Таким чином,

, Тобто C (7).

Приклад 3. Визначити відстань між точками і .

Рішення.

За формулою (1) отримаємо



Приклад 4. Дано вершини трикутника АВС: , , . Визначити координати точки перетину медіан трикутника.

Рішення.

Знайдемо координати точки D - середини відрізка АВ; маємо , . Точка М, в якій перетинаються медіани, ділить відрізок СD у відношенні 2:1, рахуючи від вершини С. Отже, координати точки М можна визначити за формулами

, ,

тобто

, .

В результаті отримуємо

, .


Приклад 5. Визначити площу трикутника з вершинами: , , .

Рішення.

Використовуючи формулу (4), отримаємо

(Кв.ед.).

Приклад 6. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M (-2; -5) паралельно прямій .

Рішення.

Дозволивши останнє рівняння відносно y, отримаємо . Отже, в силу умови паралельності кутовий коефіцієнт шуканої прямий рівний -3 / 4. Скориставшись рівнянням , Отримуємо , Тобто .

Приклад 7. Дано вершини трикутника: А (2; 2), В (-2; -8) і С (-6; -2). Скласти рівняння медіан трикутника.

Рішення.

Знаходимо координати середин сторін ЗС, АС і АВ:

, ,

, ,

, ,

Рівняння медіан знаходимо за допомогою рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Рівняння медіани АА 1:

, Або , Тобто .

Знаходимо рівняння медіани ВВ 1: оскільки точки В (-2; -8) і В 1 (-2; 0) мають однакові абсциси, медіана ВВ 1 паралельна осі ординат. Її рівняння .

Рівняння медіани СС 1: , Або .

Приклад 8. Дано вершини трикутника: А (0; 1), В (6; 5) і С (12; -1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини С.

Рішення.

За формулою знайдемо кутовий коефіцієнт сторони АВ; маємо . В силу умови перпендикулярності кутовий коефіцієнт висоти, проведеної їх вершини С, дорівнює -3 / 2. рівняння цієї висоти має вигляд , Або .


Лекція 2

Прямі на площині


Контрольні питання:

1. Загальне рівняння прямої.

2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

3. Рівняння прямої у відрізках.

4. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку.

5. Рівняння пучка прямих.

6. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

7. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даного вектору.

8. Полярне рівняння прямої.

9. Нормальне рівняння прямої.

10. Кут між прямими.

11. Умова паралельності двох прямих.

12. Умова перпендикулярності двох прямих.

13. Відстань від точки до прямої.


1. Загальне рівняння прямої. Всяке рівняння першого степеня з двома невідомими х і у, тобто рівняння виду

(1)

(Де А, В, С - постійні коефіцієнти, причому ) Визначає на площині пряму. Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

Окремі випадки загального рівняння прямої:

1) якщо , То рівняння приводиться до вигляду , Де (Це є рівняння прямої, паралельної осі Ох);

2) якщо , То рівняння прямої наводиться до виду , Де (Пряма паралельна осі Оу);

3) якщо , То рівняння приводиться до вигляду (Пряма проходить через початок координат).

2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо в загальному рівнянні прямої , То, дозволивши його відносно у, отримаємо рівняння виду

, (2)

де , . Його називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

3. Рівняння прямої у відрізках. Якщо в загальному рівнянні прямої , То, розділивши всі його частини на (- С), отримаємо рівняння виду

, (3)

де , .

4. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку. Якщо пряма проходить через точку і її напрямок характеризується кутовим коефіцієнтом k, то рівняння прямої має вигляд

. (4)

5. Дане рівняння (4) з різними значеннями коефіцієнта k називають також рівняннями пучка прямих з центром в точці .

6. Рівняння прямої, що проходить через дві точки. Якщо пряма проходить через точки і , То рівняння прямої має вигляд

, (5)

де , .

7. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даного вектору. Якщо пряма проходить через задану точку перпендикулярно даного ненульових векторів , То рівняння прямої має вигляд

. (6)

Вектор , Перпендикулярний прямій, називається нормальним вектором цієї прямої.

8. Полярне рівняння прямої. Положення прямої у полярних координатах визначено, якщо вказано відстань р. Від полюса О до даної прямої і кут α між полярною віссю ОР і віссю l, що проходить через полюс Про перпендикулярно даної прямий (рис.1).



Рис.1

Для будь-якої точки на даній прямій маємо

. (7)

Прямокутні координати (х; у) точки М і її полярні координати зв'язані співвідношеннями:

(*)

(**)

де - Полярний радіус, - Полярний кут точки М (рис. 2).





Рис.2


9. Нормальне рівняння прямої. Якщо пряма визначається завданням p і α (Рис. 3), то рівняння (7) прямий в прямокутній системі координат має вигляд

. (8)

Рівняння (8) можна отримати із загального рівняння прямої (1), помноживши обидві частини даного рівняння на нормуючий множник

, (9)

враховуючи, що знак нормуючого множника протилежний знаку вільного члена С загального рівняння прямої.



Рис.3

Приклад 1. Привести рівняння до нормального вигляду.

Рішення.

Знайдемо нормуючий множник .

Множачи дане рівняння на λ, отримаємо шукане нормальне рівняння прямої: .


10. Кут між прямими. Якщо прямі і задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами і відповідно, то тангенс кута між цими прямими можна обчислити за формулою

. (10)

11. Умова паралельності двох прямих. Для того щоб прямі і , Задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами і відповідно, були паралельні, необхідно і достатньо, щоб .

Для того щоб прямі і , Задані рівняннями і відповідно, були паралельні, необхідно і достатньо, щоб .

12. Умова перпендикулярності двох прямих. Для того щоб прямі і , Задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами і відповідно, були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб .

Для того щоб прямі і , Задані рівняннями і відповідно, були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб .

13. Відстань від точки до прямої. Якщо пряма задана рівнянням і точка не належить даній прямій, то відстань від точки до прямої знаходиться за формулою

. (11)

Приклад 2. Знайти відстань від точки до прямої .

Рішення.

За формулою (11) отримуємо .


Лекція 3

Прямі в просторі


Контрольні питання:

1. Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві задані точки.

2. Рівняння прямої в просторі, заданої як лінія перетину площин.

3. Канонічні рівняння прямої в просторі.

4. Параметричні рівняння прямої в просторі.

5. Кут між двома прямими.

6. Умова компланарності двох прямих.

7. Кут між прямою і площиною.

8. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.


1. Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві задані точки , Мають вигляд

. (1)

2. Пряма може бути задана рівняннями двох площин



пересічних по цій прямій.

3. Канонічні рівняння прямої



визначають пряму, що проходить через точку паралельно вектору .

4. Параметричні рівняння прямої



5. Кут між двома прямими, заданими їх канонічними рівняннями і , Визначається за формулою

.

6. Необхідна і достатня умова знаходження двох прямих, заданих їх канонічними рівняннями, в одній площині (умова компланарності двох прямих):

.

Якщо величини не пропорційні величинам , То зазначене співвідношення є необхідною і достатньою умовою перетину двох прямих у просторі.

7. Кут між прямою і площиною визначається за формулою

;

умова паралельності прямої і площини:

;

умова перпендикулярності прямої і площини:

.

Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А 1 (4; -3; 1), А 2 (5; -3; 0).

Рішення.

Використовуючи формулу (1), отримаємо

або .

Рівність нулю другого дробу означає, що пряма належить площині у = - 3.


Лекція 4

Площини у просторі


Контрольні питання:

1. Загальне рівняння площини.

2. Рівняння площини, що проходить через три задані точки.

3. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно даного вектору.

4. Рівняння площини у відрізках.

5. Нормальне рівняння площини.

6. Кут між двома площинами.

7. Умова паралельності площин.

8. Умова перпендикулярності площин.

9. Відстань від точки до прямої.


1. Загальне рівняння площини Р має вигляд

, (1)

де - Нормальний вектор площини (рис. 1).





Рис.1

Окремі випадки загального рівняння площини:

1.Якщо , То воно набирає вигляду Ax + By + Cz = 0. Цьому рівнянню задовольняє точка О (0; 0; 0). Отже, в цьому випадку площина проходить через початок координат.

2.Якщо C = 0, то маємо рівняння Ax + By + D = 0. Нормальний вектор перпендикулярний осі Oz. Отже, площина паралельна Oz; якщо В = 0 - паралельна осі Oy, якщо A = 0 - паралельна осі Ox.

3.Якщо C = D = 0, то площина проходить через O (0; 0; 0) паралельно осі Oz, тобто площину Ax + By = 0 проходить через вісь Oz. Аналогічно, рівнянням By + Cz = 0 і Ax + Cz = 0 відповідають площині, що проходять відповідно через осі Ox і Oy.

4.Якщо A = B = 0, то рівняння (14) приймає вигляд Cz + D = 0, тобто . Площина паралельна площині Oxy. Аналогічно, рівнянням Ax + D = 0 і By + D = 0 відповідають площині, відповідно паралельні площинам Oyz і Oxz.

5.Якщо A = B = D = 0, то рівняння () прийме вигляд Cz = 0, тобто z = 0. Це рівняння площини Oxy. Аналогічно: y = 0 - рівняння площини Oxz; x = 0 - рівняння площини Oyx.

2. Рівняння площини, що проходить через три задані точки і має вигляд

. (2)

3. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно даного вектору. Якщо в просторі Oxyz площину Р задана точкою і вектором , Перпендикулярним цій площині (рис. 2), то рівняння площини має вигляд

. (3)



Рис. 2

4. Рівняння площини у відрізках. Якщо площина відсікає на осях Ох, Оу, Oz відповідно відрізки a, b, c (рис. 3), тобто проходить через точки і , То рівняння площини має вигляд

. (4)



Рис. 3

Зауваження. Рівнянням (4) зручно користуватися при побудові площин.

5. Нормальне рівняння площини. Положення площини Р визначається завданням одиничного вектора , Що має напрямок перпендикуляра ОК, проведеного на площину з початку координат, і довжиною р цього перпендикуляра (рис. 4).



Рис. 4

Якщо α, β, γ - це кути, утворені одиничним вектором з осями Ох, Оу, Oz відповідно, то рівняння площини має вигляд

. (5)

Зауваження. Загальне рівняння площини (1) можна привести до нормального рівнянню (15), помноживши обидві частини рівняння (1) на нормуючий множник , Враховуючи, що знак нормуючого множника протилежний знаку вільного члена D загального рівняння площини.

6. Кут між двома площинами, що мають нормальні вектори і (Рис. 5), визначається як кут між і ; Косинус цього кута знаходиться за формулою



або

. (6)



Рис. 5


Приклад 3. Знайти кут між площиною Р 1, що проходить через точки А 1 (2; -4; 1), А 2 (-1; 2; 0), А 3 (0; -2; 3), і площиною Р 2, заданої рівнянням .

Рішення.

Рівняння площини Р 1 знайдемо за формулою (2):

, ,

тобто або .

По рівняннях площин визначимо їх нормальні вектори: , . Кут φ між площинами Р 1 і Р 2 знайдемо за формулою (6):

,

звідки .

7. Нехай задано дві площини Р 1 і Р 2 у вигляді загальних рівнянь площин , відповідно.

Умова паралельності площин. Для того щоб площини Р 1 і Р 2 були паралельні, необхідно і достатньо, щоб .

8. Умова перпендикулярності площин. Для того щоб площини Р 1 і Р 2 були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб .

9. Відстань від точки до прямої. Якщо пряма задана рівнянням і точка не належить даній прямій, то відстань від точки до прямої знаходиться за формулою

. (7)


Лекція 5

Криві другого порядку


Контрольні питання:

  1. Окружність.

  2. Еліпс.

  3. Гіпербола.

  4. Парабола.

  5. Загальне рівняння кривої другого порядку.


1. Окружність - це множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (центра) на дане відстань.

Якщо R - радіус кола, точка С - Її центр, то рівняння окружності має вигляд

. (8)

Приклад 4. Знайти координати центру і радіус кола .

Рішення.

Розділимо початкове рівняння на 2, згрупуємо вираження відносно х і у:

.

Доповнимо вирази, що стоять в дужках до повних квадратів:

або

.

Таким чином, координати центру кола , Радіус кола дорівнює .

2. Еліпса називається множина всіх точок площини, сума відстаней яких до двох даних точок, які називаються фокусами, є величина постійна (її позначають через 2а), причому ця постійна більше відстані між фокусами.

Якщо осі координат розташовані по відношенню до еліпсу так, як на малюнку 11, а фокуси еліпса знаходяться на осі Ох на рівних відстанях від початку координат в точках і , То вийде найпростіше (канонічне) рівняння еліпса:

. (9)

Тут а - велика, b - мала піввісь, причому а, b і с (с - половина відстані між фокусами) пов'язані співвідношенням .





Рис. 6


Форма еліпса (міра його стиснення) характеризується його ексцентриситетом .

Відстані деякої точки еліпса М від його фокусів називаються фокальними радіус-векторами цієї точки. Їх зазвичай позначають і . Для будь-якої точки еліпса в силу визначення .

Фокальні радіус-вектори виражаються через абсцису точки еліпса за формулами: (Правий фокальний радіус-вектор), (Лівий фокальний радіус-вектор).

3. Гіпербола називається множина всіх точок площини, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, які називаються фокусами, є величина постійна (її позначають через 2а), причому ця постійна менше відстані між фокусами.

Якщо помістити фокуси гіперболи в точках і , То отримаємо канонічне рівняння гіперболи

, (10)

де . Гіпербола складається з двох гілок та розташована симетрично щодо осей координат. Точки і називаються вершинами гіперболи. Відрізок такий, що , Називається дійсною віссю гіперболи, а відрізок такий, що , - Уявної віссю. При цьому .

Пряма називається асимптотою гіперболи, якщо відстань точки М (х; у) гіперболи цієї прямої прямує до нуля при або . Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких .

На малюнку 7 зазначено взаємне розташування гіперболи і її асимптот. Ставлення називається ексцентриситетом гіперболи.




Рис.7

Фокальні радіус-вектори правої гілки гіперболи: (Правий фокальний радіус-вектор), (Лівий фокальний радіус-вектор).

Фокальні радіус-вектори лівої гілки гіперболи: (Правий фокальний радіус-вектор), (Лівий фокальний радіус-вектор).

4. Параболою називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки, званої фокусом, і даної прямої, званої директоркою.

Якщо директрисою параболи є пряма , А фокусом - точка , То рівняння параболи має вигляд

. (11)

Ця парабола розташована симетрично відносно осі абсцис (рис. 8, де ). При гілки параболи звернені в позитивну сторону.





Рис. 8

Довжина фокального радіус-вектора параболи визначається за формулою ( ).

5. Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд

, (12)

де A, B, C, D, E, F - довільні дійсні числа. Воно визначає на площині Оху еліпс, гіперболу або параболу (з можливими випадками розпаду і виродження цих кривих) з осями симетрії, паралельними осям координат:

1) якщо , Тоді обумовлена ​​цим рівнянням крива є еліпс (дійсний, уявний або звироднілі в точку);

  1. якщо , Тоді відповідна крива є гіперболою;

  2. якщо , Тоді рівняння визначає параболу.

Якщо крива другого порядку задана рівнянням (12) то, застосувавши перетворення повороту осей координат з використанням формул

, , (13)

слід при відповідному виборі α звільнитися в рівнянні від члена з твором координат і звести вихідне рівняння до одного з трьох вищеперелічених типів.

Приклад 5. Привести до канонічного вигляду рівняння

.

Рішення.

1. Перетворимо дане рівняння, використавши формули повороту осей координат:



або



Знайдемо α з умови , Тобто прирівняємо до нуля коефіцієнт при . Одержимо рівняння . Звідси , .

Зауважимо, що ці значення відповідають двом взаємно перпендикулярним напрямам. Тому, взявши замість , Ми тільки змінюємо ролями осі і (Рис. 9).





Рис. 9

Нехай , Тоді , ; Візьмемо позитивні значення sinα і cosα. Тоді рівняння приймає вигляд

або



2. Вирази, що стоять в дужках, доповнимо до повних квадратів:



або

.

Прийнявши за новий початок точку , Застосуємо формули перетворення координат , Отримаємо

або (Рівняння еліпса).


Контрольні питання


  1. Дайте визначення рівняння лінії на площині.

  2. Наведіть формули різних видів рівняння прямої на площині (у просторі).

  3. Наведіть формулу обчислення кута між прямими на площині (у просторі).

  4. Сформулюйте умови паралельності та перпендикулярності двох прямих на площині (у просторі).

  5. Як знайти відстань від точки до прямої на площині (у просторі)?

  6. Доведіть, що якщо дві прямі паралельні, то їх рівняння можна представити в такому вигляді, що вони будуть відрізнятися тільки вільними членами.

  7. У чому полягає метод координат на площині?

  8. Як розташовані точки, що мають одну і ту ж проекцію на вісь Ох? на вісь Оу?

  9. Як розташована точка в прямокутній системі координат, якщо одна її координата дорівнює нулю? дві її координати дорівнюють нулю?

  10. Доведіть, що у всякому прямокутному трикутнику довжина медіани, що з'єднує вершину прямого кута з серединою гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

  11. Наведіть формули рівнянь площини в просторі.

  12. Наведіть формулу кута між площинами.

  13. Наведіть формулу кута між прямою і площиною.

  14. Які лінії називаються кривими другого порядку?

  15. Дайте визначення окружності, приведіть її геометричні властивості.

  16. Знайдіть рівняння дотичної до кола в точці .

  17. Дайте визначення еліпса, приведіть його геометричні властивості.

  18. Виведіть умову, при якому пряма стосується еліпса .

  19. Доведіть, що відношення відстаней від будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси є величина постійна, рівна ɛ.

  20. Дайте визначення гіперболи, приведіть її геометричні властивості.

  21. Доведіть, що довжина перпендикуляра, опущеного з фокусу на одну з асимптот гіперболи, дорівнює уявної півосі.

  22. Виведіть умову, при якому пряма стосується гіперболи .

  23. Дайте визначення параболи, приведіть її геометричні властивості.

  24. Сформулюйте алгоритм приведення рівнянь кривих другого порядку до канонічного вигляду.
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації