Дипломна робота - Лінійні та квадратичні залежності, функція / х / та пов'язані з ними рівняння і нерівності

диплом Тетяна Сурскова.docx (1 стор.)
Оригінал





Лінійні та квадратичні залежності, функція / х / та пов'язані з ними рівняння і нерівності.

Дипломна робота з алгебри


22.06.2008


Сурскова Т.А.




ЗМІСТ


Введення ............................................................................

Глава 1. Лінійна залежність і пов'язані з нею рівняння і

нерівності ...............................................................

Д.1.1. Лінійна функція ..........................................................

П.1.2. Лінійні рівняння і нерівності ....................................

П.1.3. Рішення лінійних нерівностей ............................................

Глава 2. Квадратична залежність і пов'язані з нею рівняння і

нерівності ..............................................................

Д.2.1. Квадратний тричлен .....................................................

Д.2.2. Корені квадратного тричлена ...........................................

П.2.3. Залежність розташування графіка функції квадратного

тричлена від а, D ............................................................

Д.2.4. Рішення квадратних нерівностей .........................................

Д.2.5. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники .....

Д.2.6. Виділення повного квадрата, як метод розв'язання деяких

нестандартних завдань ......................................................

Д.2.7. Равносильность і наслідок в задачах з квадратним тричленна ..

Глава 3. Функція х і пов'язані з нею рівняння і нерівності ......

П.3.1. Визначення та властивості функції х .....................................

П.3.2. Рівняння і нерівності, що містять модулі ......................

Висновок ............................................................................

Література ............................................................................

Додаток ...........................................................................




Введення.


Актуальність дослідження.

В даний час в науково-методичній літературі та періодичних виданнях активно обговорюється «якість» математичних знань, придбаних учнями загальноосвітніх шкіл. Методисти, вчителі математики, студенти педагогічних інститутів задають собі одне і те ж питання: «Чому багато учнів не відчувають взаємозв'язку між досліджуваними темами, не вміють застосовувати пройдений теоретичний матеріал до розв'язання задач, нерідко через кілька уроків втрачаючи набуті вміння, так і не стали навичками ? »

Дана робота не дає вичерпної відповіді на це сакраментальне питання. (Якщо така відповідь взагалі існує.) Проте основні принципи цієї роботи і її завдання є своєрідною альтернативою найбільш часто вживаною системі викладу математичних відомостей.

Вивчення лінійних і квадратичних залежностей, функції | х | - все частіше пропонуються абітурієнтам на вступних іспитах самих різних ВУЗів. Але ці теми і раніше викликають труднощі у багатьох старшокласників. Започаткована в даній роботі спроба система

тизированной і узагальнити теоретичний матеріал по цій темі (як вхідний в рамки шкільного курсу, так і виходить за його межі) може стати прикладом системного підходу до курсу алгебри і згаданої вище альтернативою простому нарешіванію завдань.

Крім якості придбаних знань, випускнику сучасної школи життєво необхідне вміння мислити самостійно. Сучасній молодій людині необхідно вміння жити в світі, де думати - не розвага, а обов'язок. Тому істотна частина даної роботи присвячена квадратичної залежності і рівнянням і нерівностям, пов'язаними з нею. Дана тема дозволяє розвинути пізнавальну

активність, творчу самостійність учнів, інтуїтивне мислення, уміння міркувати й сперечатися. Не можна сказати, що методисти та педагоги-вчені обходили своєю увагою це питання. Однак у даній темі завжди знаходиться щось нове і цікаве, що дозволяє знаходити нестандартне рішення.

Спираючись на все вище сказане, сформулюємо завдання дослідження.

Завдання.

1. Узагальнити і систематизувати відомості про лінійних і квадратичних залежностях і пов'язаних з ними рівняннями і нерівностями.

  1. Показати виділення повного квадрата, як метод вирішення
    деяких нестандартних завдань.

  2. Показати ефективність застосування даного методу до
    вирішенню завдань.

  3. Проаналізувати методико-педагогічну літературу по темі

«Лінійні та квадратичні залежності»

5. Виконати добірку завдань, для яких рішення зводилося б до лінійним або квадратичним залежностям.

Теоретична і практична значимість.

Теоретична значимість дослідження полягає в систематизації та узагальненні даної теми. Теоретично значущим також є проведений аналіз методико-педагогічної літератури з теми «Лінійні та квадратичні залежності».

Практична значимість роботи полягає в можливості використання у вирішенні завдань доведених формул і тверджень. При цьому може бути використана виконана добірка задач, для яких метод виділення повного квадрата є раціональним. Матеріали цієї роботи можуть бути корисні вчителям шкіл і студентам педагогічних інститутів.




Структура роботи.

Робота складається з вступу, трьох розділів, висновку і додатку, включає сторінок машинописного тексту і має список літератури з

найменувань.




Глава 1. Лінійна залежність і пов'язані з нею рівняння і

нерівності


1.1. Лінійна функція

Визначення. Функція, що задається формулою у = k · х + b, називаючи

ється лінійної.

У шкільній програмі доводиться, що графіком лінійної функції на площині є пряма, і назад, що будь-яка пряма на площині є графік деякого лінійного рівняння a · x + b · y + c = 0.

Рівняння у = k · х + b називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.








y = k ∙ x + b, k> 0, b ≠ 0 y = k ∙ x + b, k <0, b ≠ 0


Наведені вище два малюнки ілюструють зв'язок параметрів k і b з особливостями розташування прямої в декартовій системі координат. Зокрема, число k = tg α називається кутовим коефі

ціент прямий.

В даному випадку Rk ∙ x + bR. Якщо k = 0, то Rfb, линів

ная функція постійна і задає пряму, паралельну осі ОХ і | стелиться через точку (0, b) на осі OY.


Перелічимо основні властивості лінійної функції.

  1. Її областю визначення є безліч R.

  2. Якщо k 0, то безліччю значень лінійної функції також є безліч R, якщо k = 0, то безліч значень - одноточечную безліч b.

  3. Якщо k > 0, то y = k ∙ x + b - монотонно зростаюча функція на R, якщо k <0, то y = k ∙ x + b - монотонно убуває на R.

  4. Якщо b = 0, то y = k ∙ x - непарна функція, у = b - парна функція; якщо ж k ∙ b ≠ 0, то y = k ∙ x + b не є парною або непарною функцією.

Розглянуті вище випадки не дозволяють задати пряму, паралельну осі OY. Тому домовимося, що рівняння х = х 0 задає
множина всіх точок виду (х 0, у), де у R, тобто задає пряму
паралельну осі OY і проходить че рез точку о, 0) на осі ОХ.

Щоб побудувати пряму, що задається рівнянням y = k ∙ x + b, достатньо знайти дві точки (х 0, у 0) і (х 1, у 1), що задовольняють цьому рівнянню: у 0 = k ∙ х 0 + b; біля 1 = k ∙ х 1 + b і провести через них шукану пряму.


1.2. Лінійні рівняння і нерівності


Розглянемо найпростіше рівняння з двома параметрами а і b -

лінійне ах = b і відразу ж випишемо відповідь:

ах = b


Відповідь:

1) якщо а 0, то рівняння має єдине рішення х 0 = Ba.

2) якщо a = 0b = 0 , То рішення заповнюють всю числову пряму - ∞ <x <+ ∞.

3) якщо a = 0b ≠ 0 , То немає рішень.


1.3. Рішення лінійних нерівностей


Відразу ж випишемо рішення у вигляді готового правила:

1) ах> b, якщо a > 0, то x > Ba

якщо a <0, то x <ba

якщо a = 0 і b <0, то x - Будь-яке число,

якщо a = 0 і b 0, то рішень немає.

2) ах <b, якщо a > 0, то x <ba

якщо a <0, то x> ba

якщо a = 0 і b 0, то рішень немає,

якщо a = 0 і b> 0, то x - будь-яке число.

Завжди корисно пам'ятати наступне основне правило:

При множенні або діленні обох частин нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

При множенні або діленні обох частин нерівності на позитивне число знак нерівності не змінюється.


1.4. Квадратний тричлен

Визначення. Квадратного тричленна називається функція y = ax2 + bx + c, a ≠ 0.



Виділення повного квадрата шляхом тотожних перетворень.

(*)

Інакше можна записати у вигляді:

y = ax2 + bx + c ≡ ax + b2a2 +4 ac-b24a. (**)


Приклад 1.




Приклад 2.

y = x2-x +3 ≡ x2-2 ∙ x ∙ 12 +3 ≡ x2-2 ∙ x ∙ 12 +122- -122 +3 ≡ ≡ x-122-14 +3 ≡ x-122 +114.

Визначення. Число D = b2-4 ∙ a ∙ c називається дискримінант квадратного тричлена ax2 + bx + c.


1.5. Корені квадратного тричлена




Потрібно знайти корені рівняння

ax2 + bx + c = 0.

Виділивши повний квадрат, отримаємо формулу (*), звідки

ax + b2a2-(b2-4ac) 4a2 = 0,


так як a ≠ 0 то x + b2a2-(b2-4ac) 4a2 = 0.

Ми повинні розглянути три випадки:

1) D = b2-4 ∙ a ∙ c> 0, тоді

x + b2a2-b2-4ac2a2 = 0

x + b2a + b2-4ac2a ∙ x + b2a-b2-4ac2a0 x + b2a + b2-4ac2a = 0x + b2a-b2-4ac2a = 0x1 =-b-b2-4ac2ax2 =-b + b2-4ac2a


У цьому випадку рівняння ax2 + bx + c = 0 має два різних кореня:


x1, 2 =-b ± b2-4ac2a


2) D = b2-4 ∙ a ∙ c> 0, тоді ax2 + bx + c = ax + b2a2 = 0

в силу (*), тобто x1 = x2 =-b2a - два співпадаючих кореня.

3) D = b2-4 ∙ a ∙ c <0, тоді

ax + b2a2-(b2-4ac) 4a2 = 0


не має дійсних коренів, так як

x + b2a2 + (4 ac-b2) 4a2 ≥ (4ac-b2) 4a2> 0 завжди.

Отже, доведена теорема:

Теорема 1. Нехай є рівняння ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, якщо

1) D = b2-4 ∙ a ∙ c <0, то рівняння не має дійсних розв'язків.

2) D = b2-4 ∙ a ∙ c = 0, то рівняння має два рівних кореня x1 = x2 =-b2a

3) D = b2-4 ∙ a ∙ c> 0, то рівняння має два різних кореня

x1, 2 =-b ± b2-4ac2a.

Зауваження: якщо b = 2 ∙ p і D> 0, то

x1, 2 =-2p ± (2p) 2-4ac2a =-2p ± 2p2-ac2a =-p ± p2-aca.

У цьому випадку коріння зручно знаходити за формулою

x1, 2 =-p ± p2-aca.


Теорема 2. Якщо а> 0, то функція y = ax2 + bx + c монотонно убуває для x ∈ - ∞;-b2a і монотонно зростає для x ∈-b2a; + ∞.

Доказ теореми:

Нехай
x1 <x2 ≤-b2a (1),

де x1, x2 довільні фіксовані числа, тоді з (1) отримуємо

x1 + b2a <x2 + b2a ≤ 0 2

-X1 + b2a>-x2 + b2a ≥ 0x1 + b2a2> x2 + b2a2

-X1 + b2a2>-x2 + b2a2ax1 + b2a2> ax2 + b2a2

ax1 + b2a2 +4 ac-b24a> ax2 + b2a2 +4 ac-b24a,

а це по (**) є ax12 + bx1 + c> ax22 + bx2 + c, що вимагалося довести.

1) У цьому міркуванні використано монотонне зростання функції y = x2 на безлічі 0; + ∞.

2) Доведіть, що функція y = x2 монотонно зростає на множині 0; + ∞.

Аналогічно доводиться монотонне зростання функції y = ax2 + bx + c на-b2a; + ∞.

Теорема 3. Якщо а <0, то функція y = ax2 + bx + c монотонно зростає для x ∈ - ∞;-b2a і монотонно убуває для x ∈-b2a; + ∞.

Доказ теореми аналогічно доведенню теореми 2.

Слідство.

Якщо а> 0, то ax2 + bx + c ≥ 4ac-b24a для будь-якого хεR.

Якщо а <0, то ax2 + bx + c ≤ 4ac-b24a для будь-якого хεR.

При а> 0 minxax2 + bx + c = 4ac-b24a.

При а <0 maxxax2 + bx + c = 4ac-b24a.

min і max досягаються при x =-b2a.

Точка-b2a; 4ac-b24a називається вершиною параболи.


1.6. Залежність розташування графіка функцій

квадратного тричлена від a, D


Визначення. Графік квадратного тричлена y = ax2 + bx + c називається параболою.


Намалюємо ескізи парабол для шести типових і істотно різних комбінацій значень параметрів a і D.


1) a> 0D> 0


2) a> 0D = 0




3) a> 0D <0


4)) a <0D> 0


5) a <0D = 0


6) a <0D <0


1.7. Рішення квадратних нерівностей

Спираючись на ілюстрації, сформулюємо наступне правило розв'язання квадратних нерівностей:

Нерівність

Відповідь

ax2 + bx + c> 0 a> 0; D> 0

x ∈ - ∞; x1 ∪ (x2; + ∞)

ax2 + bx + c ≥ 0 a> 0; D> 0

x ∈ - ∞; x1 ∪ x2; + ∞)

ax2 + bx + c> 0 a> 0; D = 0

x ∈ - ∞;-b2a ∪-b2a; + ∞

ax2 + bx + c ≥ 0 a> 0; D = 0

- ∞ <x <+ ∞

ax2 + bx + c> 0, ax2 + bx + c ≥ 0

a> 0; D <0

- ∞ <x <+ ∞

ax2 + bx + c> 0 a <0; D> 0

x1 <x <x2 (або xεx1, x2)

ax2 + bx + c ≥ 0 a <0; D> 0

x1 ≤ x ≤ x2 (або xε [x1, x2])

ax2 + bx + c> 0 a <0; D = 0

Ні рішень (або)



ax2 + bx + c ≥ 0 a <0; D = 0

x =-b2a

ax2 + bx + c <0 a <0; D> 0

x ∈ - ∞; x1 ∪ (x2; + ∞)

ax2 + bx + c ≤ 0 a <0; D> 0

x ∈ - ∞; x1 ∪ x2; + ∞)

ax2 + bx + c <0 a> 0; D = 0

x ∈ - ∞;-b2a ∪-b2a; + ∞

ax2 + bx + c ≤ 0 a> 0; D = 0

x =-b2a

ax2 + bx + c <0, ax2 + bx + c ≤ 0

a <0; D <0

- ∞ <x <+ ∞

ax2 + bx + c <0, ax2 + bx + c ≤ 0

a> 0; D <0

Ні рішень (або)

ax2 + bx + c <0 a> 0; D = 0

Ні рішень (або)

ax2 + bx + c ≤ 0 a> 0; D = 0

x =-b2a

ax2 + bx + c <0 a> 0; D> 0

x1 <x <x2 (або xεx1, x2)

ax2 + bx + c ≤ 0 a> 0; D> 0

x1 ≤ x ≤ x2 (або xε [x1, x2])

ax2 + bx + c ≥ 0 a <0; D <0

Ні рішень (або)


1.8. Розкладання квадратного тричлена

на лінійні множники

Теорема 4.

1) Якщо D> 0, то ax2 + bx + c = ax-x1x-x2,

де x1, 2 =-b ± b2-4ac2a

2) Якщо D = 0, то ax2 + bx + c = ax + b2a2.

3) Якщо D <0, то ax2 + bx + c не можна розкласти на лінійні множники, використовуючи в якості коефіцієнтів цих лінійних множників речові числа.

Приклад 1. 3x2 + x-4 = 3x-1x +43; D = 1 +4 ∙ 4 ∙ 3 = 49



Приклад 2. 9x2-6x +1 = 9x-132; D = 36-36 = 0

Приклад 3. x2-x +3 = x2-x +3; D = 1-12 <0.

Вкажемо та інші зв'язки між країнами і коефіцієнтами квадратного тричлена.

Теорема 5. (Вієта)

Якщо x1, x2 - речові коріння рівняння ax2 + bx + c = 0, то

x1 + x2 =-bax1 ∙ x2 = ca

Теорема 6. (Зворотній теорема Вієта)

Якщо числа x1, x2 задовольняють умовам системи:

x1 + x2 =-bax1 ∙ x2 = ca

то x1, x2 є корені рівняння ax2 + bx + c = 0.

Часто зустрічаються задачі, в яких потрібно з'ясувати взаємне розташування якого-небудь числа і коренів квадратного тричлена на числовій осі.

Наступна теорема дозволяє істотно спростити рішення подібного роду задач. Відзначимо, що для зменшення числа розбираємо різних випадків ми переходимо до розгляду наведеного квадратного рівняння, яке виходить після поділу всіх коефіцієнтів рівняння на старший коефіцієнт a.


Теорема 7.

Нехай x1, x2 - речові коріння рівняння x2 + px + q = 0 і λ-число.




Для того, щоб

Необхідно і достатньо

I. x1 <λx2 <λ


2λ + p> 0λ2 + pλ + q> 0

II. x1> λx2> λ


2λ + p <0λ2 + pλ + q> 0

III. x1 <λ <x2

λ2 + pλ + q <0

Місце для формули.

Доведемо випадок 1.

Необхідність.

Нехай x1, x2 - речові коріння рівняння x2 + px + q = 0.

Якщо x1 <λx2 <λ, то необхідно виконуються умови

2λ + p> 0λ2 + pλ + q> 0.

Доказ.

Так як за умовою

λ-x1> 0 1 і λ-x2> 0 2,

то служив (1) і (2) отримаємо 2λ-(x1 + x2)> 0. По теоремі Вієта x1 + x2 =-p, тобто 2λ + p> 0, що й потрібно було довести.

Перемноживши (1) і (2), отримаємо

λ-x1λ-x2> 0 λ2-λ (x1 + x2 + x1 ∙ x2> 0.

Скориставшись теоремою Вієта:

x1 + x2 =-px1 ∙ x2 = q,

отримаємо λ2 + pλ + q> 0, що й потрібно було довести.

Достатність.

Нехай x1, x2 - речові коріння рівняння x2 + px + q = 0.

Для того, щоб обидва кореня були менше числа λ, достатньо, щоб виконувалася наступна система нерівностей:

2λ + p> 0λ2 + pλ + q> 0.

Доказ.

За умовою, справедлива система:

2λ + p> 0λ2 + pλ + q> 0 (1)

Знову скористаємося теоремою Вієта

x1 + x2 =-px1 ∙ x2 = q, (2)

тоді система (1) прийме вигляд:

2λ-(x1 + x2)> 0λ2-λ (x1 + x2) + x1 ∙ x2> 0 (3)

Переписавши систему (3) в іншому вигляді, отримаємо систему (4):


(Λ-x1) + (λ-x2)> 0 (а) (λ-x1) ∙ (λ-x2)> 0 (б) 4.

Нерівність (б) означає, що числа (λ-x1) і (λ-x2) мають однакові знаки, а нерівність (а), що обидва ці числа додатні, тобто

λ-x1> 0 λ-x2> 0, інакше кажучи x1 <λx2 <λ, що й потрібно було довести.


1.9. Завдання

Позначимо через x1, x2 корені квадратного тричлена (a-1) x2-2a +1 x +2 +5 a. Знайти усі а, при яких обидва кореня більше 1.

Рішення.

а) Якщо а = 1, то рівняння-3x + 7 = 0 має тільки один корінь, тому a ≠ 1.

б) При a ≠ 1 скористаємося пунктом II теореми 7, який дозволяє відразу записати:

x1> 1x1> 1D = 2a +12-4 a-12 +5 a ≥ 02 ∙ 1-2a +1 a-1 <012-2a +1 a-1 ∙ 1 +2 +5 aa-1> 0


4a2 +4 a +1-20 a2 +12 a +8 ≥ 0-3a-1 <0a-1> 0a-1-2a-1 +2 +5 a (a-1)> 016a2-16a-9 ≤ 0a> 14aa-1 > 0

8-20816a> 1 ≤ a ≤ 8 +208164 (2-13) 16 ≤ a ≤ a> 14 (2 +13) 16


Відповідь. 1 <a ≤ 2 +134.


2. Знайти всі значення a, при яких корені рівняння x2 + x + a = 0 більше a.

Рішення.

Скориставшись пунктом II теореми 7 отримуємо:


x1> ax2> aD = 1-4a ≥ 02 ∙ a +1 <0a2 + a + a> 0a ≤ 14a <-12a <-2; a> 0a <-12a <-2; a> 0





Відповідь. A <-2.


3. Знайти всі значення a, при яких обидва кореня квадратного рівняння a-1x2-a +1 x +2 a-1 = 0 будуть менше 1.

Рішення.

Рівняння буде квадратним тільки якщо a ≠ 1. У цьому випадку воно рівносильне рівнянню:

x2-(a +1) a-1x +2 a-1a-1 = 0


Згідно з пунктом 1 теореми 7 отримуємо, що


x1 <1x2 <1 D = a +12-4 a-12a-1 ≥ 02 ∙ 1-a +1 a-1> 012-a +1 a-1 ∙ 1 +2 a-1a-1> 0

-7a2 +14 a-3 ≥ 02a-2-a-1a-1> 0a-1-a-1 +2 a-1 (a-1)> 07a2-14a +3 ≤ 0a-3a-1> 02a-3a- 1> 0


7-287 ≤ a ≤ 7 +287 a <1; a> 3a <1; a> 327-287a <1; a> 3 ≤ a ≤ 7 +287





Відповідь. 7-287 ≤ a <1.


Іноді застосування теореми 7 викликає труднощі, оскільки виникають нерівності третьою або більш високого ступеня. Тоді, швидше за все, можна вирази для коренів вихідного квадратного тричлена отримати у вигляді раціональних функцій параметра.

Іншими словами:

Якщо застосування теореми 7, викликає алгебраїчні труднощі, варто перевірити, чи не є дискримінант розглянутого квадратного рівняння повним квадратом. Якщо дискримінант є повним квадратом, то потрібно спробувати виписати вирази для коренів і продовжити рішення задачі.


4. При яких значеннях а всі корені рівняння

3 a x2 +3 a3-12a2-1x-a (a-4) = 0 задовольняють умові x <1?

1) Зауважимо, що якщо a = 0, то рівняння має єдиний корінь x = 0, і число 0 задовольняє умову задачі.

2) Якщо a ≠ 0, то

D = 3a3-12a2-12 +12 a2a-4 = 3a3 - 12a2-12 +43 a3-12a2.

Замінимо 3a3-12a2 = b, тоді

D = (b-1) 2 +4 b = b2 +2 b +1 = (b +1) 2 = 3a3-12a2-12

x1, 2 =-3a3-12a2-1 ± (3a3-12a2 +1) 2 ∙ 3a = 13a-a2 +4 a

Умова задачі буде виконано, якщо справедлива система:

13a <1-a2 +4 a <1-1 <13a <1-1 <a2-4a <11 +3 a3a> 01-3a3a <0a2-4a +1> 0a2-4a-1 <0


a <2-3; a> 2 +32-5 <a <2 +52-5 <a <2-3; 2 +3 <a <2 +5


a <-13; a> 132-5 <a <2-3; 2 +3 <a <2 +5




Порівняємо числа з проміжних відповідей:

нехай 2-5> -132 +13> 5499> 549> 45 вірно;

нехай 2-3 <132-13 <3259 <325 <27 вірно.


Перетин відповідей є безліч:

2 +3 <a <2 +5

Відповідь. 0 ∪ (2 +3; 2 +5)


1 .10. Виділення повного квадрата, як метод

вирішення деяких нестандартних завдань


Приклад 1. Знайти найбільше із значень z, для яких існують числа x, y, задовольняють рівнянню

2x2 +2 y2 + z2 + xy + xz + yz = 4.

Рішення.

Так як потрібно знайти найбільше значення z, то в лівій частині рівності будемо послідовно виділяти повні квадрати, спочатку щодо x, потім щодо y. (Звичайно, можна спочатку виділити повний квадрат щодо y, потім щодо x).

Отже,


2x2 + xy + z +2 y2 + z2 + yz = 4

2x2 +2 ∙ x ∙ (y + z) 4 + y + z42-y + z42 +2 y2 + z2 + yz = 4

2x + y + z42-(y2 +2 y + z2) 8 +2 y2 + z2 + yz = 4



Позначимо x + y + z4 = x 'і зберемо подібні члени


2x'2 +158 y2 +3 yz4 +78 z2 = 4

2x'2 +158 (y2 +6 yz15) +78 z2 = 4


2x'2 +158 y2 +2 ∙ y ∙ 3z15 + z52-z52 +78 z2 = 4

2x'2 +158 y + z52-z252 +78 z2 = 4

Позначимо y + z5 = y '

2x'2 +158 (y ') 2-340z2 +78 z2 = 4


2x'2 +158 (y ') 2 +45 z2 = 4


2x'2 +158 (y ') 2 = 4-45z2

Так як ліва частина останньої рівності неотрицательна, то права частина повинна бути неотрицательной:

4-45z2 ≥ 0z2-5 ≤ 0-5 ≤ z ≤ 5.

Отже, необхідно z ≤ 5. Покажемо, що можна знайти такі x, y, при яких z = 5. Якщо z = 5, то

2x'2 +158 y'2 = 0

x '= 0y' = 0z = 5x + y + z4 = 0y + z5 = 0z = 5x = 145-54 = -445 =-15y =-15z = 5



Відповідь. z = 5

Приклад 2. Числа x, y, z такі, що x2 +3 y2 + z2 = 2. Яке найбільше значення може приймати вираз 2x + yz?

Приклад 2 ми зведемо до прикладу 1.

Нехай значення

2x + yz = az = 2x + ya,

підставляючи цей вираз для z в рівняння, одержимо:

x2 +3 y2 + (2x + ya) 2 = 2.

x2 +3 y2 +4 x2 + y2 + a2 +4 xy-4ax-2ay = 2

5x2 +4 y2 + a2 +4 xy-4ax-2ay = 2 (1)

Тепер завдання формулюється так: знайти найбільше значення а, для якого існують числа x, y, задовольняють рівнянню (1).

Знову виділяючи повні квадрати, спочатку відносно х, потім щодо у, одержуємо:

5x2 +4 (ya) 5 ∙ x +4 y2 + a2-2 ∙ y ∙ a = 2


5x2 +2 x (2y-2a) 5 +2 y-2a52-2y-2a52 +4 y2 + a2-2 ∙ y ∙ a = 2


5x +2 y-2a52-5 (4y2-8ya +4 a2) 254y2 + a2-2 ∙ y ∙ a = 2


Позначимо x +2 y-2a5 = x '.


5 (x ') 2 +165 y2-2y ∙ a5 + a25 = 2

5 (x ') 2 +165 (y2-2y ∙ a16) + a25 = 2




5 (x ') 2 +165 y2-2 ∙ y ∙ a16 + a162-a162 + a25 = 2

5 (x ') 2 +165 y-a162-165 ∙ a2162 + a25 = 2

Покладемо y-a16 = y '


5 (x ') 2 +165 y'2 +1580 a2 = 2


5x'2 +165 y'2 = 2-1580a2

Так як ліва частина останньої рівності більше або дорівнює нулю, то і права частина повинна бути неотрицательна, тобто


2-1580a2 ≥ 0a2-323 ≤ 0-323 ≤ a ≤ 323

Вирішуючи систему

x '= 0y' = 0a = 323, одержуємо x = 38 ∙ 323y = 116 ∙ 323a = 323


Відповідь. Найбільше значення а = 323.

Приклад 3. Знайти всі значення а, при кожному з яких існує єдина пара цілих чисел x, y, які задовольняють рівнянню-15x2 +11 xy-2y2 = 7 і двом нерівностям x <y, 2a2x + +3 ay <0

Рішення.



1) Будемо розглядати ліву частину рівності, як, наприклад, квадратний тричлен щодо x і спробуємо розкласти його на множники.

Для цього скористаємося теоремою 4. Згідно з цією теоремою, потрібно знайти корені рівняння:-15x2 +11 xy-2y2.

Його дискримінант D = (11y) 2-4 ∙ 15 ∙ 2y2 = y2, і тоді

x1, 2 =-11y ± y-30 = y325y

Тепер-15x2 +11 xy-2y2 =-15x-y3x-25y =-3x-y ∙ 5x-2y.

Тоді рівність-15x2 +11 xy-2y2 = 7 можна переписати у вигляді:

3x-y ∙ 5x-2y = -7.

Так як ми шукаємо тільки пари цілих чисел (x, y), то числа

3x-y і 5x-2y теж цілі.

Цілими дільниками числа 7 є числа ± 1, ± 7 і тільки вони. Тому дане рівняння рівносильне сукупності чотирьох систем:




2) Встановлено, що рівняння-15x2 +11 xy-2y2 = 7 має рівно чотири пари цілих рішень. Нерівності x <y, задовольняють лише дві пари: (9; 26) і (15; 38).

3) З'ясуємо за яких а ці дві пари з пункту 2) задовольняють умові: 2a2x +3 ay <0.



(9; 26): 2a2 ∙ 9 +3 a ∙ 26 <0aa +133 <0-133 <a <0.

(15; 38): 2a2 ∙ 15 + 3 a ∙ 38 <0aa +195 <0195 <a <0.

4) Зобразимо отримані безлічі на осі параметра а.


З креслення видно, що для a ∈ - ∞; -133 ∪ 0; + ∞ задача не має цілих рішень; для a ∈ -133, -195 - лише одна ціла пара (9; 26) задовольняє всім умовам; при a ∈ - 195,0 є дві пари цілих чисел, які відповідають завданню (9; 26) і (15; 38).

Відповідь. -133, -195.

1.11. Равносильность і слідства в задачах

з квадратним тричленна


У деяких завданнях вступного іспиту потрібно не просто досліджувати розташування коренів квадратного тричлена, а з'ясувати, при яких значеннях параметра виконується те чи інше логічне висловлювання, пов'язане з вирішенням рівняння або нерівності.

Розглянемо спочатку в загальному вигляді одну з типових завдань:

1. Знайти всі значення параметра а, при яких нерівність:

f1ax2 + f2ax + f3a <0 (1)

виконується для всіх xε (c, d). (2)

В іншому вигляді дана задача може сформульована так:

Знайти всі значення параметра а, при яких з умови (2) випливає нерівність (1).



Висловимо те ж саме на мові теорії множин:

Позначимо символом А безліч рішень нерівності (1), а символом В безліч, заданий умовою (2) (умова (2) може бути накладено у вигляді вимоги вирішити деякий нерівність або рівняння).

Тоді задачу можна сформулювати наступним чином:

Знайти всі значення параметра а, при яких виконано включення B ⋐ A.

Після такого осмислення завдання стає ясний алгоритм її вирішення. Розглянемо наступні три випадки:

1) f1a> 0, тоді після приведення лівої частини нерівності (1) отримуємо:

x2 + f2af1ax + f3af1a <0 (3)


Геометрично необхідну включення B ⋐ A зображується наступним

чином:


Алгебраїчно точки c і d повинні знаходиться між корінням розглянутої параболи, що дозволяє застосувати теорему 7.

f1a> 0c2 + f2af1ac + f3af1a ≤ 0 d2 + f2af1ad + f3af1a ≤ 0


2) f1a = 0, тоді нерівність (1) стає лінійним:


f2ax + f3a <0 (4)


Геометрична інтерпретація в цьому випадку виглядає наступним чином (два випадки):


Рис. 1. Рис. 2.


Алгебраїчно цей випадок зводиться до вирішення сукупності двох систем:

f1a = 0f2a ∙ c + f3a ≤ 0 f2a ∙ d + f3a <0 f1a = 0f2a ∙ c + f3a <0 f2a ∙ d + f3a ≤ 0


3) f1a <0, тоді нерівність (1) після приведення приймає вигляд:


x2 + f2af1ax + f3af1a> 0 (5)


Знову дамо спочатку геометричну інтерпретацію включення B ⋐ A (три випадки):



Рис. 3. Рис. 4.


Рис. 5.

Алгебраїчно: рис. 3 - квадратний тричлен має коріння, розташовані правіше числа d (можливо х 1 = d); рис. 4 - квадратний тричлен має коріння, розташовані лівіше числа з (можливо х 2 = с); рис. 5 - квадратний тричлен не має коренів.

Користуючись теоремою 7 пункти I, II, випишемо вищесказане у вигляді сукупності алгебраїчних систем:




Повна відповідь задачі виходить об'єднанням відповідей з випадків 1);

2); 3).

Тепер ясно, що:

Вирішуючи задачу про взаємній розташуванні рішень квадратних нерівностей з логічним висловлюванням, зручно поступити наступним чином:

1) переформулювати логічний вислів на мові теорії множин, у вигляді співвідношень включення для безлічі рішень нерівностей.

2) отримати геометричні ілюстрації, які з'ясовують можливе взаємне розташування кордонів множин рішень - коренів квадратних тричленна.

3) виписати, використовуючи результати теореми 7, сукупність алгебраїчних систем, які відповідають різним випадкам геометричного розташування коренів і різним випадкам знака коефіцієнта при х 2 в нерівностях.

4) зібрати в остаточній відповіді завдання об'єднання проміжних відповідей для всіх розглянутих випадків.

Застосуємо сформульований алгоритм, для вирішення наступного завдання:

II. Знайти всі значення параметра а, при яких нерівність:

f1ax2 + f2ax + f3a <0 (6)

виконується для всіх x ∈ - ∞, c (7)

Рішення.

1) Якщо А - множина рішень нерівності (6), В - множина (7), то задача відповідає включенню B ⋐ A.

2) Розберемо всі можливі випадки знака коефіцієнта f1a, і для кожного з них наведемо геометричні ілюстрації:

2а) f1a> 0, тоді (6) x2 + f2af1ax + f3af1a <0 (8)


Рис. 1. Рис. 2.

У цьому випадку множина А - небудь інтервал 1, х 2) (рис. 1), або А = (рис. 2). Тому включення B ⋐ A неможливо.

2б) f1a = 0, тоді нерівність (6) прийме вигляд: f2ax + f3a <0.

Зобразимо графічно різні можливі варіанти розташування прямої y = f2ax + fa для цього випадку (4 рисунка).


Рис. 3. Рис. 4.


Рис. 5. Рис. 6.


На рис. 3 і рис. 5 безліч А = (- ∞, х0) і А = R - відповідно.

На рис. 4 і рис. 6 безліч А = (х0, + ∞) і А = - відповідно.



Ясно, що включення B ⋐ A можливо тільки у випадках рис. 3 і рис. 5.

Алгебраїчно це відповідає:

f1a = 0 f2a> 0 f2a ∙ c + f3a ≤ 0 f1a = 0 f2a = 0 f3a <0


2в) f1a <0, тоді нерівність (6) запишеться у вигляді:


x2 + f2af1ax + f3af1a> 0 (9)


Можливі два різних випадку розташування параболи

y = x2 + f2af1ax + f3xf1a


Рис. 7. Рис. 8.


Ясно, що в разі рис. 7 А = (- ∞, х1) ∪ (x2; + ∞), у разі рис. 8 А = R.

Включення B ⋐ A в першому випадку відповідає системі нерівностей

x1 ≥ cx2 ≥ c, у другому випадку B ⋐ A автоматично.

З пункту II теореми 7 випливають умови:

f1a <0D = f22a-4f1a ∙ f3a ≥ 02 ∙ c + f2af1a ≤ 0c2 + f2af1a ∙ c + f3af1a ≥ 0f1a <0D = f22a-4f1a ∙ f3a <0


Остаточну відповідь задачі виходить об'єднанням відповідей з пунктів 2а), 2б) і 2в).

Завдання: виписати самостійно схеми рішень наступних завдань:

III. Знайти всі значення параметра а, при яких нерівність

f1ax2 + f2ax + f3a <0

виконується для всіх x ∈ - ∞, c ∪ d, + ∞.

IV. Знайти всі значення параметра а, при яких з нерівності

c <x> d слід нерівність f1ax2 + f2ax + f3a <0.

V. Знайти всі значення параметра а, при яких виконання

нерівності x ≤ c тягне виконання нерівності f1ax2 + + f2ax + f3a <0.

VI. Знайти всі значення параметра а, при яких із сукупності

нерівностей x <cx> d слід нерівність f1ax2 + f2ax + f3a <0.

Перейдемо до розгляду прикладів з матеріалів вступних іспитів.

1. Знайти всі значення параметра а, при яких з нерівності

ax2-x +1- a <0



слід нерівність 0 <x <1.

Рішення.

1) Позначимо символами А безліч рішень нерівності ax2-x +1- a <0 (1) і В: 0 <x <1. Потрібно з'ясувати, за яких а справедливо включення А ⋐ В.

2) Розглянемо всі випадки знака коефіцієнта а.

2а) a> 0, тоді (1) x2-1ax +1- aa <0 (2)

Геометрично:


Рис. 1. Рис. 2.

У цьому випадку множина А є або інтервал 1, х 2) (рис. 1), або А = (рис. 2). Тому включення А ⋐ У виконується в першому випадку, якщо коріння х 1, х 2 квадратного тричлена розташовані на відрізку 0,1, а в другому випадку А ⋐ У вірно завжди (адже є підмножиною будь-якого безлічі за визначенням).

Алгебраїчно розглянутий випадок записується у вигляді сукупності двох систем:

a> 0D> 0x1 ≥ 0x2> 0x1 <1x2 ≤ 1a> 0D ≤ 0


Використовуючи пункти I, II теореми 7, отримуємо:


a> 0D = 1-4a1-a> 02 ∙ 0-1a <002-1a ∙ 0 +1- aa ≥ 02 ∙ 1-1a> 012-1a ∙ 1 +1- aa ≥ 0a> 0D = 1-4a1- a ≤ 0 a> 01-2a2> 01a> 01-aa ≥ 02a-1a> 00 ≥ 0a> 01-2a2 ≤ 0a> 0a ≠ 120 <a ≤ 1a <0; a> 12a> 0a = 12


12 <a ≤ 1a = 12


Відповідь 2а) 12 ≤ a ≤ 1.



2б) а = 0, вихідне нерівність (1) приймає вигляд:

-X +1 <0x> 1

У цьому випадку безліч А: x> 1 не входить в безліч В:

0 <x <1.

Тому

Відповідь 2б) ∅.


2в) a <, тоді нерівність (1) x2-1ax +1- aa> 0 (3)


Геометрично:


Рис. 3. Рис. 4.

У разі рис. 3 безліч А = - ∞, x1 ∪ x2; + ∞. У разі рис. 4 - А = R. У кожному з цих випадків включення А ⋐ В, очевидно, неможливо. Тому

Відповідь 2в. ∅.

Об'єднуючи відповіді з усіх трьох випадків, отримуємо:

Відповідь. 12 ≤ a ≤ 1.


II. Знайти всі значення m, для яких нерівність

mx2-4x +3 m +1> 0

буде виконуватися при всіх x> 0.

Рішення.

Позначимо через А безліч рішень нерівності



mx2-4x +3 m +1> 0 (1), і через В безліч x> 0.

Умові завдання відповідає включення B ⋐ A.

Розглянемо всі випадки знака коефіцієнта m.

1) m> 0, тоді (1) x2-4mx +3 m +1 m> 0

Геометрично:


Рис. 1. Рис. 2.

Включення У ⋐ А в разі рис. 1 буде виконуватися, якщо x1 ≤ 0x2 ≤ 0.

У разі рис.2 А = R і 0, + ∞ ∁ R.

Знову, використовуючи пункт I теореми 7, отримуємо:

m> 0D = 16-4m3m +1 ≥ 02 ∙ 0-4m ≥ 002-4m ∙ 0 +3 m +1 m ≥ 0m> 0D = 16-4m3m +1 <0 m> 03m2 + m-4 ≤ 0m <0m ≤ - 13; m> 0m> 03m2 + m-4> 0m> 0-43 ≤ m ≤ 1m <0m ≤ -13; m> 0m> 0m <43; m> 1



Відповідь 1) m> 1.

2) m = 0, нерівність (1) приймає вигляд:

-4x +1> 0x <14

Отже, А: x <14; В: х> 0. Очевидно, що включення У ⋐ А невірно.

Відповідь 2) ∅.

3) m <0, тоді (1) x2-4mx +3 m +1 m <0 (2)

Геометрично:


Рис. 3. Рис. 4.

У разі рис. 3 А: x1 <x <x2; у разі рис. 4 А =; в будь-якому випадку У ⋐ А неможливо.

Відповідь 3) ∅.

Відповідь. M> 1.

III. При яких значеннях параметра а всі числа з відрізка 1 ≤ x ≤ 5 задовольняють нерівності 3ax +23 x +1-6 x + a-5 <0 1?

Рішення.

Позначимо 3x +1 = y3x +1 = y2x = y2-13.

Нерівність (1) в нових позначеннях прийме вигляд:

3ay2-13 +2 y-6y2-13 + a-5 <0a-2y2 +2 y-3 << 0 2

Якщо 1 ≤ x ≤ 5, то 4 ≤ 3x +1 ≤ 162 ≤ y ≤ 4 (3)

Отже, первинне завдання можна переформулювати наступним чином.

При яких значеннях параметра а з нерівності 2 ≤ y ≤ 4 сдедует

нерівність a-2y2 +2 y-3 <0.

Як і раніше, позначимо через А безліч рішень нерівності 2 і В: 2 ≤ y ≤ 4. Потрібно визначити, за яких а справедливо В ⋐ А.

Розглянемо всі випадки знака коефіцієнта - 2).

1) а - 2> 0a> 2, тоді нерівність (2) рівносильно

y2 +2 (a-2) y-3 (a-2) <0 (4)

Скориставшись геометричним підходом, отримуємо:


Рис. 1. Рис. 2.

У разі рис. 1 безліч А: у1 <у <у2. У разі рис. 2 безліч А =.

Включення У ⋐ А можливо, тільки якщо числа 2 і 4 лежать між країнами у1, у2 квадратного тричлена.

З пункту III теореми 7 випливає система:

а - 2> 022 +2 (a-2) 2-3 (a-2) <042 +2 (a-2) 4-3 (a-2) <0а - 2> 04a-2 +4-3 < 016a-2 +8-3 <0

a> 24a-7 <016a-27 <0a> 2a <74a <2716 ∅ a <2716 ∅


Відповідь 1).


2) Розглянемо випадок а - 2 = 0a = 2, тоді нерівність (2) рівносильно

2y-3 <0 y <32.

У цьому випадку безліч А: y <32.


і включення У ⋐ А невірно.


3) Розглянемо а - 2 <0a <2, тоді нерівність (2) рівносильно

y2 +2 (a-2) y-3 (a-2)> 0 (5)

Зобразимо графічно взаємне розташування множин А і В, при яких вірно включення У ⋐ А.


Рис. 3. Рис. 4.


Рис. 5.




У разі рис. 3 виконується система нерівностей:

y1> 4y2> 4 (6)

У разі рис. 4 виконується система нерівностей:

y1 <2y2 <2 (7)

У разі рис. 5 виконується умова D <0 (8). З пунктів I, II теореми 7 випливає, що умови (6), (7), (8) рівносильні сукупності наступних систем:

а - 2 <0D = 4 +12 a-2 ≥ 02 ∙ 4 +2 a-2 <042 +2 a-24-3a-2> 0а -


53 ≤ a <274 <a <2a <2716; a> 2a ∈ ∅ 53 ≤ a <2a <32; a> 2a <74; a> 2a ∈ ∅ a <53a <53


Відповідь. a <53.

IV. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

2x + a22a-4a2-24-2x2 + xlga ∙ lg36a-9a235 = 0

має принаймні два кореня, один з яких неотріцателен, а інший не перевершує -1.

Рішення.

Знайдемо область можливих значень параметра, при яких має сенс ліва частина рівняння.

36a-9a235> 022a-4a2-24 ≥ 00 <a <44a2-22a +24 ≤ 00 <a <432 ≤ a ≤ 432 ≤ a <4


Розглянемо наступні два випадки:

1) 32 ≤ a ≤ 4lg36a-9a235 = 032 ≤ a ≤ 436a-9a2 = 3532 ≤ a ≤ 4a = 53; a = 73

У цьому випадку будь-яке число x ∈ R є рішенням рівняння, значить умову задачі виконано.

Відповідь 1) a = 53; a = 73.



2) Розглянемо випадок a ∈ E = 32; 53 ∪ 53; 73 ∪ 73; 4.

У цьому випадку lg36a-9a235 ≠ 0, і на цей множник можна скоротити, не втрачаючи коренів. Отже, при a ∈ E, наше рівняння рівносильне наступній системі:

32 ≤ a <53; 53 <a <73; 73 <a <42x + a22a-4a2-24-2x2 + xlg a = 0


32 ≤ a <53; 53 <a <73; 73 <a <42lgax2-222a-4a2-24-lg ax-a22a-4a2-24 = 0 (*)

Зауважимо, що для a ∈ E: lg a> lg 1 = 0.

Необхідно з'ясувати, за яких а з Е справедливі нерівності:

x1 ≤ -1 <0 ≤ x2, де x1, x2 - речові коріння квадратного тричлена (*).

Інакше кажучи, числа -1 і 0 повинні знаходитися між країнами цього квадратного тричлена.

Згідно з пунктом III теореми 7, повинна бути справедлива система:

32 ≤ a <53; 53 <a <73; 73 <a <42lg a-12-222a-4a2-24-lg a ∙-1-a22a-4a2-24 ≤ 02lg a02-222a-4a2-24-lg


32 ≤ a <53; 53 <a <73; 73 <a <42 ≤ a <4a = 32; a = 432 ≤ a ≤ 4a = 32; 2 ≤ a <4

Відповідь 2). a = 32; 2 ≤ a <4.

Відповідь. a = 32; a = 53; 2 ≤ a <4.


1.12. Рівняння і нерівності, що містять модулі

I. Визначення та властивості функції | х |.


Визначення.
x = x, якщо x ≥ 0-x, якщо x <0

Приклад. | 1,5 | = 1,5; | -5 | = - (-5) = 5.

З визначення модуля випливає, що x ≥ 0 при будь-яких х.

Властивості модуля: для будь-яких речових х і у справедливі наступні властивості:

1. x ∙ y = | x | ∙ y

2. xy = | x | | y |

3. |-X | = | x |

4. | X + y | ≤ x + y

5. | | X | - | y | | ≤ | xy |

з 1 випливає, що x2 = x ∙ x = x2.

Геометрично величина | xy | задає відстань між точками х і у на речовій осі.

Графік функції у = x.





Нехай є довільна функція у = f (x), з визначення модуля випливає, що:

fx = fx, якщо f (x) ≥ 0-fx, якщо fx <0

Відзначимо правило побудови графіка функції у = fx.

1) Спочатку будуємо графік функції у = f (x).

2) Там, де графік функції у = f (x) лежить вище осі ОХ або на ній, залишаємо без зміни; точки графіка, які лежать нижче осі ОХ, замінюємо симетричними їм відносно осі ОХ точками.

Відзначимо, що в силу парності функції x, всяка функція f (x) також буде парною.


Приклад. y = | x2-3x +2 |

1. Будуємо y = x2-3x +2.


2. Будуємо y = x2-3x +2 за вказаною правилу.




II. Схема рішень рівнянь і нерівностей, що містять

кілька модулів.

Наприклад, нехай потрібно розв'язати нерівність:

f1x + f2 (x) f3x + f4 (x) ≤ f5 (x)

1) Знаходимо речові коріння виразів, що стоять під модулем, тобто вирішуємо рівняння f1x = 0; f4x = 0.

Нехай x1, x2, ... xk всі речові коріння цих рівнянь. Нанесемо ці корені на числову вісь. Вони розіб'ють вісь на (k + 1) проміжків.

Будемо припускати, що функції f1x і f4 (x) неперервні на всій числовій осі, тоді значення цих функцій будуть зберігати свої знаки на кожному із зазначених проміжків.

Щоб визначити знак значень f1x і f4 (x) на якомусь проміжку (xi-1, xi), достатньо обчислити f1x і f4 (x) в будь-якій точці x0 ∈ (xi-1, xi); знаки цих чисел збігаються зі знаками значень функцій f1x і f4 (x) відповідно на всьому проміжку (xi-1, xi) (так само можна вчинити і на променях - ∞, x1 і (xk, + ∞)).

Hb

Рис. 1.

2) Визначаємо знаки виразів, що стоять під модулями, на кожному такому проміжку. Нехай це буде як на рис. 1. Тоді початкове нерівність (або рівняння) стане рівносильним сукупності наступних

(K + 1) систем:

1) x <x1f1x + f2 (x) f3x + f4 (x)-f5x ≤ 0 Ответ12) x1 ≤ x <x2-f1x + f2 (x) f3x-f4 (x)-f5x ≤ 0 Ответ2 ............... .... 3)-x ≥ xkf1x + f2 (x) f3x-f4 (x)-f5x ≤ 0 Ответk +1


Відповідь: Ответ1 ∪ Ответ2 ∪ .... Ответk +1.

Під позначенням Ответi, i = 1,2, ...., (k +1) розуміється безліч рішень системи з номером i.


Отже, сформулюємо тепер у вигляді короткого алгоритму загальну схему розв'язання рівнянь і нерівностей зі знаком модуля, яка була проілюстрована вище.

Щоб розв'язати рівняння або нерівність, що містить знаки модуля, достатньо:

1) розбити всю область визначення рівняння або нерівності на ділянки, на кожному з яких всі вирази, які стоять під модулем, зберігають знаки.

2) користуючись визначенням функції у = x, розкрити на кожній з таких ділянок всі знаки модулів.

3) вирішити отримані рівняння або нерівності.

4) відібрати з отриманих рішень всі ті рішення, які входять у розглянутий ділянку.



5) у відповіді вказати об'єднання всіх рішень, отриманих на кожній з ділянок.

У деяких завданнях під знаком модуля можуть знаходитися вирази, що містять в свою чергу знаки модулів. У цьому випадку розкриття модулів зручно робити послідовно, починаючи з самого «внутрішнього» знака модуля.

Приклад 1. Нехай потрібно розв'язати рівняння

x2-1 + x2-4 = 3.

Застосуємо запропонований алгоритм.

x2-1 = 0 x1, 2 = ± 1; x2-4 = 0 x3, 4 = ± 2


Рис. 2.


Наведемо, спочатку, подібну схему вирішення.

Згідно рис. 2, початкове рівняння рівносильне сукупності наступних п'яти систем:

1) x <-2x2-1 + x2-4 = 3x <-22x2 = 8x <-2x1 = 2; x2 =-2Ответ1: ∅, так як ні один корінь не задовольняє умові x <-22) -2 ≤ x < -1x2-1 + x2 +4 = 3-2 ≤ x <-13 = 3

Відповідь: -2; 1 ∪ -1 ∪ 1, 2 ∪ 2 або -2; 1 ∪ 1; 2.

Зауваження: Зауважимо, що дане рішення можна було записати коротше, об'єднавши розгляд випадків 1) і 5) в одну систему, а випадків 2) і 4) в іншу систему.




Відповідь: -2; 1 ∪ 1; 2.

Таке скорочення міркувань, щоб уникнути можливих помилок, ми рекомендуємо робити тільки після придбання деякого досвіду у вирішенні завдань з модулями.

Найбільш повну й наочну картину дає графічне дослідження

даного рівняння.

1) Побудуємо графік функції

y = x2-1 + x2-4

Для побудови будемо використовувати схему знаків, зображених на рис. 2. Тоді

y = x2-1 + x2-4 = x2-1 + x2-4 = 2x2-5, якщо x <-23, якщо-2 ≤ x <-1-x2 +1- x2 +4 =-2x2 +5, якщо-1 ≤ x <13, якщо 1 ≤ x <22x2-5, якщо x ≥ 2


Відповідний графік виглядає так:


Рис. 3.


Побудувавши графік правій частині рівняння у = 3, переконуємося, що графіки лівої і правої частини (y = x2-1 + x2-4 і у = 3) перетинаються, а (фактично - збігаються) на безлічі -2 ≤ x ≤ -1 і 1 ≤ x ≤ 2.

Більш того, графічний підхід дозволяє відразу ж вирішити

узагальнену задачу:

При кожному значенні параметра а розв'язати рівняння:

x2-1 + x2-4 = a.

Для вирішення завдання повторимо графік з рис. 3 і зобразимо на те кресленні різні можливі положення прямої у = а.


Рис. 4.


Випишемо відповідь задачі (він безпосередньо випливає з рис. 4)

Відповідь. 1) а <3 - рішень немає;

2) а = 3 - нескінченна безліч рішень -2 ≤ x ≤ -1 і 1 ≤ x ≤ 2.

3) 3 <a <5 - чотири рішення:

2x2-5 = a; x1, 2 = ± a +52-2 x2 +5 = a; x3, 4 = ± 5-a2

4) a = 5 - три рішення:

x1 = 02x2-5 = 5; x2, 3 = ± 5



5) a> 5 - два рішення: 2x2-5 = a; x1, 2 = ± a +52

Наведена форма рішень дозволяє відразу ж дати відповідь для інших можливих постановок задачі.

1) За яких а рівняння

x2-1 + x2-4 = a (1)

не має рішень?

Відповідь: а <3.

2) За яких а рівняння (1) має нескінченно багато рішень?

Відповідь: а = 3.

3) За яких а рівняння (1) має не менше трьох рішень?

Відповідь: 3 ≤ а 5.

Приклад 2. Визначити, при яких значеннях а рівняння x-a2 = 44x-a2 має рівно три кореня. Знайти ці корені.

Спочатку вирішимо дане рівняння, послідовно розкриваючи модулі в його правій частині. Як було зазначено вище, почнемо розкриття з внутрішнього модуля. Для нього можливі наступні два випадки:


Отримуємо сукупність двох систем:

1) x <0x-a2 = 4-4x-a2 ≡ 44x + a22) x ≥ 0x-a2 = 44x-a2


Вирішимо окремо систему (1) і систему (2).

Діаграма знаків для системи (1):


Система (1) рівносильна, в свою чергу, сукупності двох систем:





х 1 буде рішенням, якщо справедливо нерівність

a-8a234 <-a242a + a2 <0-2 <a <0.


х 2 буде рішенням, якщо справедлива система:

-A-8a230 <0-a-8a230 ≥-a24a +8 a2> 02a + a2 ≤ 0a <-18-2 ≤ a ≤ 0-2 ≤ a <-18


Відповідь 11: при-2 <a <0, x1 = a-8a234 при інших a система 11 рішень не імеетОтвет 12: при-2 ≤ a <-18, x2 =-a-8a230 при інших a система 12 рішень не має


Вирішуємо систему (2) тим же способом:


Система (2) рівносильна сукупності двох систем:




х 3 буде рішенням, якщо справедлива система


a +8 a234 ≥ 0a +8 a234 <a24a+8a2≥0-2a+a2> 0a ≤ -18; a ≥ 0a <0; a> 2a ≤ -18; a> 2

a-8a234 <-a242a + a2 <0-2 <a <0.


х 4 буде рішенням, якщо справедливо нерівність:

-A +8 a230 ≥ a24-2a + a2 ≥ 0a ≤ 0; a ≥ 2.


Відповідь 21: При a ≤ -18; a> 2, x3 = a +8 a234 при інших a система 21 рішень не імеетОтвет 22: При a ≤ 0; a ≥ 2, x4 =-a +8 a230 при інших a система 22 рішень не має


Підсумковий відповідь зручно отримати графічно. Для цього зобразимо на осі параметра проміжки значень а, для яких є рішеннями значення x1, x2, x3, x4.




Рис. 4.


З рис. 4 видно, що, наприклад, корінь х 4 є рішенням рівняння для a ≤ 0; a ≥ 2 (нестроге нерівність відповідає відсутності стрілки в точках а = 0 і а = 2), а корінь х 1 є рішенням при -2 <a < 0 (точки а = 0 і а = 2 не входять в інтервал -2 <a <0, тому зображення кореня х 1 постачено стрілками в точках -2 і 0).

Рис. 4 дозволяє відразу виписати при кожному значенні а всі рішення рівняння.

При a <-2: х3 = a +8 a234x4 =-a +8 a230

При a = -2: х3-2 = -2 +3234 = 1517x4-2 = 2 +3234 = 1x2-2 = 2-3230 = -1

При-2 <a <-18: х1 = a-8a234х2 =-a-8a230х3 = a +8 a234x4 =-a +8 a230


При a = -18: х1-18 = -18-1834 =-1136х3-18 = -18 +1834 = 0х4-18 = 18 +1830 = 1120


При-18 <a <0: х1 = a-8a234x4 =-a +8 a230

При а = 0: х40 = 0

При 0 <а <2: рішень немає

При а = 2: х42 = -2 +3230 = 1

При a> 2: х3 = a +8 a234x4 =-a +8 a230


Дамо тепер відповідь на поставлене в умови питання:

Відповідь. Рівняння має рівно три кореня:


1) При a = -2: х3-2 = 1517x4-2 = 1x2-2 = -1



2) При a = -18: х1-18 =-1136х3-18 = 0х4-18 = 1120

Питання. Поясніть собі, чому неможливо збіг коренів з різними індексами; наприклад, чому неможливо рівність: x2 = x3 при -2 <a <-18 і т.п.? Адже, якщо б це було можливим, то відповідь задачі міг би бути більш широким.

Звичайно, слід віддавати собі звіт, що при відповіді безпосередньо на питання задачі можна було б спростити рішення, відразу ж спираючись на рис. 4, але ми свідомо включили дану задачу в більш широку.

Вирішити рівняння x-a2 = 44x-a2 при всіх значеннях параметра а.

Такий підхід дозволяє відповісти і на інші, пов'язані з завданням, питання:

1. Яке максимальне число рішень може мати дане рівняння, і за яких а це число реалізується?

2. За яких а рівняння не має рішень?

3. За яких а рівняння має не менше трьох рішень і т.п.?


Приклад 3. При всіх а розв'язати рівняння x-2 + ax +3 = 5 і визначити, за яких а воно має рівно два рішення.

Рішення. Знову використовуємо запропонований алгоритм.

Визначимо знаки виразів під модулями, побудувавши схему знаків: x-2 = 0, x1 = 2; x +3 = 0, x2 = -3.


Рис. 5.

Тепер ясно, що дане рівняння рівносильне сукупності трьох систем.




Досліджуємо розв'язність лінійних рівнянь в системах 1), 2), 3), користуючись алгоритмом з глави 1.

1) x <-3 - (a +1) x = 3 (a +1)


Якщо а = -1, то всі числа x <-3 є рішеннями, при a ≠ -1 х 1 = -3, і корінь х 1 не задовольняє умові x <-3.

Відповідь 1: при а = -1 x <-3; при інших а система 1) рішень не має.

2) -3 ≤ x <2 (a-1) x = 3 (-a +1)

Якщо а = 1, то -3 ≤ x <2; якщо a ≠ 1 х 1 = -3

Відповідь 2: при а = 1 -3 ≤ x <2; при a ≠ 1 х 1 = -3

3) x ≥ 2a +1 x = 7-3a


Якщо а = -1, то рішень немає; якщо a ≠ -1, то х 2 = 7-3aa +1, що є рішенням системи 3), якщо справедливо нерівність

7-3aa +1 ≥ 25-5aa +1 ≥ 0-1 <a ≤ 1.

Відповідь 3: при -1 <а ≤ 1 х 2 = 7-3aa +1; при інших а система 3) рішень

не має.

Зобразимо результат дослідження графічно на осі параметра а, як і в попередньому прикладі.


Відповідь.

при a <-1 x1 =-3прі a = -1 x <-3; x1 =-3прі-1 <a <1 x1 = -3; x2 = 7-3aa +1 при a = 1 -3 ≤ x <2; x21 = 42 = 2прі a> 1 x1 = -3


Рівняння має рівно два рішення при
-1 <A <1 x1 = -3; x2 = 7-3aa +1
.


Приклад 4. Знайти найменше значення функції y = 2x-3 +3 x-2

Застосовуючи викладений вище алгоритм, отримаємо:

x-3 = 0, x1 = 3; 3x-2 = 0, x2 = 23.


Знову зобразимо діаграму знаків.




Рис. 6.


Тепер алгебраїчна запис даної функції на різних ділянках числової осі виглядає наступним чином:

y = 2x-3 +3 x-2 =-2x +6-3 x +2 =-5x +8, якщо x <23-2x +6 +3 x-2 = x +4, якщо 23 ≤ x <3 12x-6 +3 x-2 = 5x-8, якщо x ≥ 3

Нарешті, побудуємо графік, який є об'єднанням прямолінійних відрізків і променів (частин графіків відповідних (1) лінійних функцій).


Очевидно, що найменше значення функції дорівнює 143, при х = 23.


Приклад 5. Знайти площу фігури, заданої на координатній площині співвідношенням:

y-12x2 + y +12 x2 ≤ 2 + x.



Рішення.

Розіб'ємо координатну площину ХОY на три області, які відповідають різним комбінаціям знаків подмодульних виразів під знаком модуля (що є аналогом схеми знаків для виразів з одного зміною).


Рис. 6.


Парабола y = 12x2 розбиває координатну площину на дві області, в одній з яких (область I на рис. 6 заштрихована горизонтальними прямими) вираз y-12x2 ≥ 0, а решти площині y-12x2 <0.

Аналогічно, парабола y =-12x2 розбиває координатну площину на дві інші частини, в одній з яких (область III на рис. 6 не заштрихована) вираз y +12 x2 <0, а решти площині y +12 x2 ≥ 0.

Остаточно вся координатна площина розбита на три області I, II,

III. В області II справедливо подвійне нерівність

-12x2 ≤ y <12x2.

Отримавши схему знаків, подальше вирішення задачі ми проведемо, керуючись загальним алгоритмом. Задаюче фігуру нерівність рівносильне сукупності трьох систем:



Безліч точок, що задається системою I, зображена у вигляді заштрихованої області на рис. 7.


Рис. 7.


Безліч точок, що задається системою II, зображена у вигляді заштрихованої області на рис. 8.





Рис. 8.


Рішення системи III заштриховано на мал. 9.


Рис. 9.


Об'єднуючи заштриховані області на рис. 7, рис. 8 і рис. 9, ми отримуємо геометричне зображення фігури, заданої умовою задачі (рис. 10).


Рис. 10.

Тепер ясно, що задана фігура є трапеція ABCD з основами AC і BD та висотою PQ.

PQ = 2 - (-1) = 3; BD = 2 - (-2) = 4.

SABCD = AC + BD2 ∙ PQ = 1 +42 ∙ 3 ​​= 152

Відповідь. 152



Звернемо увагу читача на те, що деякі рівняння і нерівності зі знаком модуля легко вирішуються з використанням геометричного сенсу виразу | x - a |.

Наприклад, рівняння | x - 3 | = 2 рівносильно вимозі знайти всі числа х на речовій осі, віддалені від числа 3 на відстані 2.


Тепер очевидно х 1 = 1; x = 5.

У більш загальному, рівняння

f (x) = Afx = Afx =-A, A> 0

якщо A = 0, то fx = 0, при A <0 рішень немає.

Цей же підхід зручний при вирішенні нерівностей, що містять один модуль:

f (x) ≤ A A> 0-A ≤ f (x) ≤ Afx ≥-Afx ≤ A,

якщо A <0, то рішень немає; якщо А = 0, то fx = 0.

Зокрема, в курсах вищої математики зазвичай використовують наступне нерівність:

xa <ε ε> 0-ε <xa <εa-ε <x <a + ε

Аналогічно:

f (x)> A (A> 0) fx> Afx <-A,

якщо A <0, то нерівність вірно для всіх х з області визначення функції fx, якщо A = 0, то нерівність рівносильне вимозі f (x) ≠ 0.



Приклад. x> ε (ε> 0) x> εx <-εxε-∞,-ε ∪ ε, + ∞.

У курсах вищої математики це безліч називають ε-окрестночтью точки x = ∞.
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації