Інтерполяція функцій

1.doc (1 стор.)
Оригінал


інтерполяція функцій


Обговорюються постановка задач інтерполяції таблично заданих функцій, інтерполяція поліномами Лагранжа, квадратичних і кубічного сплайнами. Наводяться способи обчислення таблично заданої функції, використовуючи різні способи інтерполяції. Розглядаються приклади, які показують область застосування інтерполяції функцій.

Постановка завдань про інтерполяції функції


При трактуванні поняття "наближення" в широкому сенсі виявиться, що більша частина методів обчислень виявиться предметом вивчення теорії наближення. У даному розділі навчального посібника під теорією наближення буде розумітися вузьке коло питань, що стосуються наближення функцій одного або декількох змінних за допомогою інших функцій. Інакше даний коло завдань називаються завданнями апроксимації функцій.

Розглянемо ряд прикладних задач, які приводять до апроксимації функцій. Одна з них пов'язана зі скороченням часу обчислення значень функції на ЕОМ. Припустимо, що потрібно проводити багатократне обчислення функції в різних точках інтервалу . Вона задана деяким громіздким аналітичним виразом, наприклад


, .

(2.2.1)


Природним чином виникає прагнення замінити функцію інший близькою в якомусь сенсі функцією (Інакше кажучи, апроксимувати ) Так, щоб


,

(2.2.2)


де величина визначає точність апроксимації. При цьому природно на обчислення значення функції повинно йти значно менше часу ЕОМ, нам для функції .

Інша задача, яка приводить до апроксимації функцій, пов'язана з економією оперативної пам'яті ЕОМ. Припустимо, що функція задана таблично (відомі її значення у вузлах , , Інтервалу ):


.

(2.2.3)


Далі в обчислювальному процесі використовується ця таблиця і при великому значенні зберігання всієї таблиці (2.2.3) може зажадати великого об'єму оперативної пам'яті. Тому закономірно виникає задача апроксимації близькою функцією , Яка вже залежить від невеликого числа параметрів. При цьому в пам'яті ЕОМ потрібно буде зберігати тільки значення цих параметрів, а в якості значення функції будуть братися обчислені значення функції . Таким чином, від зберігання всієї таблиці значень функції (2.2.3) можна відмовитися.

Наступна прикладна задача, яка приводить до задачі апроксимації функції, пов'язана пошуком емпіричних залежностей за експериментальними даними. Як правило, експериментальні дані зазвичай подаються у вигляді таблиці (2.2.3). На основі практичного досвіду дослідник припускає, що отримана таблиця є реалізацією деякого емпіричного закону з невідомим параметром (Параметр може бути і вектором). В даному випадку виникає задача визначення такого значення параметра , При якому емпірична залежність найкращим чином описувала б експериментальні дані, тобто .

При вирішенні завдань інтерполяції функцій виникає проблема кількісного опису того, наскільки добре функція наближається до функції . Для цієї мети застосовується поняття норми. Крім того, це ж поняття використовується і для класифікації задач теорії наближення.

Найбільш широко застосовуються два види норм:

а) рівномірна безперервна норма



,

(2.2.4)


б) середньоквадратична інтегральна норма




(2.2.5)


або її дискретний аналог


,

(2.2.6)


яка узгоджена з інтегральної в тому сенсі, що


,

(2.2.7)


коли межа існує.

Задачі інтерполяції, які використовують норму а) в якості кількісного критерію близькості, називаються завданнями рівномірного наближення.

Задачі інтерполяції, що використовують норму б) для опису близькості наближення, називаються завданнями середньоквадратичного наближення.

Завдання апроксимації можуть також класифікуватися по виду залежності від параметрів сімейства функцій . Як правило, вони діляться на лінійні та нелінійні задачі.

Інтерполяція Лагранжа


Досить часто наближення функції здійснюють поліномом - Ой ступеня . Дане наближення можна виконати різними способами.

Наприклад, для цього можна використовувати розкладання в ряд Тейлора на інтервалі і відрізок ряду - многочлен Тейлора - Ой ступеня є поліномом, апроксимує :


.

(2.2.8)


Оцінка похибки апроксимації випливає з формули залишкового члена відрізка ряду Тейлора


.

(2.2.9)


Та ж функція може бути представлена ​​многочленом Тейлора з центром в будь-якій точці , А саме


.

(2.2.10)


Припустимо, що відомі значення у вузлах інтервалу , , , , А саме: . Рішення задачі інтерполяції полягає в тому, щоб знайти наближене значення в точці (Див. рис. 2.2.1). Для цього можна використовувати многочлен Тейлора з центрами у вузлах .





Рис. 2.2.1. Графічна ілюстрація задачі інтерполяції


Покладемо


,

(2.2.11)


де - Найближчий до точки вузол. Вираз (2.2.11) є прикладом інтерполяційних формул, заснованих на многочлене Тейлора. Головний їхній недолік полягає в тому, що використовуються значення похідних функції у вузлах, які, як правило, невідомі для таблично заданих функцій.

Припустимо, що нам таблично задана функція (Див. вираз (2.2.3)). Будемо її апроксимувати поліномом, який визначається лише значеннями з умови


, .

(2.2.12)


Виконання умов (2.2.12) означає, що графік полінома - Ой ступеня обов'язково повинен проходити через точки площини з координатами (Рис. 2.2.2).





Рис. 2.2.2. Графічне представлення інтерполяції Лагранжа


Беручи до уваги, що поліном задається виразом




(2.2.13)


співвідношення (2.2.12) перепишемо у розгорнутому вигляді


.

(2.2.14)


Отримано систему лінійних рівнянь щодо коефіцієнтів полінома . У силу того, що вузли різні визначник системи (2.2.14)




(2.2.15)


не дорівнює нулю і тому вона має єдине рішення. Лагранж знайшов її рішення і отримав, що інтерполяційний поліном можна записати у вигляді


.

(2.2.16)


Поліном (2.2.16) називається інтерполяційним поліномом Лагранжа і його можна переписати в більш компактній формі


.

(2.2.17)


Розглянемо наступний приклад, коли функція задана таблицею 2.2.1.


Таблиця 2.2.1

Значення функції



-1

2

3

5



-1

3

2

4


Слідуючи формулою (2.2.16), знаходимо інтерполяційний поліном Лагранжа


.

(2.2.18)


Потрібно знайти значення функції в точці , В якості якого береться значення полінома (2.2.18). Проводячи обчислення, отримуємо


.

(2.2.19)


Представлений приклад демонструє те, що для формального побудови інтерполяційного полінома Лагранжа достатньо мати лише таблицю значень функції .

Обчислювальна схема Ейткена


Для випадку, коли немає потреби знаходити інтерполяційний поліном , А потрібно обчислити лише його значення , То застосовується обчислювальна схема Ейткена. Дотримуючись цієї схеми, послідовно обчислюються в точці наступні поліноми


;

(2.2.20)




;

(2.2.21)






(2.2.22)


і т.д. Можна показати, що


.

(2.2.23)


Обчислення за схемою Ейткена проводяться до тих пір, поки не буде виконано нерівність


, ,

(2.2.24)


в якому - Задана точність обчислень. Нерівність (2.2.24) показує, що в процес обчислень не залучаються зайві вузли, а використовуються лише таку кількість вузлів, що забезпечує необхідну точність обчислень .

Розглянемо технологію обчислень за схемою Ейткена на прикладі функції, обумовленої таблицею 2.2.1. Результати обчислень представлені в таблиці 2.2.2.

Таблиця 2.2.2

Обчислення значення полінома Лагранжа за схемою Ейткена













-1

-1

-

-

-

-3.5

2

3

3.666667

-

-

-0.5

3

2

2.5

2.645833

-

0.5

5

4

1.5

2.333333

2.463542

2.5


З аналізу наведених даних видно, що процес обчислення за схемою Ейткена дає такий же результат, який отримано при обчисленні значення інтерполяційного полінома Лагранжа (див. вираз (2.2.19)).

Таким чином, отримуємо, що інтерполяційний поліном Лагранжа з деякою погрішністю описує функцію по її табличним значенням і дозволяє знайти її значення при таких , Які не збігаються з вузлами . Крім того, слід зазначити, що поліном Лагранжа забезпечує глобальну інтерполяцію (він апроксимує функцію на всьому інтервалі її визначення). При цьому якщо кількість вузлів велике, то і ступінь полінома висока. Він буде досить добре апроксимувати функції, які мають неперервні похідні вищого порядку, як і сам апроксимує поліном. Якщо ж таблично задана функція не має безперервних похідних високого порядку, то апроксимує поліном буде призводити до великої помилку апроксимації.

Інтерполяція сплайнами


Якщо нам заздалегідь відомо, що таблично задана функція не має безперервні похідні не високого порядку, то для її обчислення не має сенсу застосовувати інтерполяційний поліном Лагранжа, так як помилка апроксимації може виявитися великою. Для таких випадків застосовують сплайн апроксимацію.

Нехай дано інтервал , Який розбитий, як і вище, на відрізків вузлами , . Сплайном називається функція, визначена на і така, що на кожному інтервалі , вона являє собою поліном - Ой ступеня


, .

(2.2.25)





Рис. 2.2.3. Приклад сплайна дефекту 1


Дефектом сплайна називається різниця між ступенем, що визначаються його поліномів і порядком гладкості , Тобто


.

(2.2.26)


На рис. 2.2.3 та рис. 2.2.4 наведені приклади сплайнів з дефектами рівними 1 і 2 відповідно. Найбільш часто застосовуються сплайни дефекту 1, зокрема параболічні і кубічні сплайни, які будемо розглядати в цьому розділі навчального посібника.





Рис. 2.2.4. Параболічний сплайн дефекту 2


Першою розглянемо параболічну інтерполяцію. Припустимо, що відома функція , Яка задана таблично у вузлах , , Сплайном дефекту 1. Визначимо таким чином:




(2.2.27)


на кожному інтервалі . Вираз (2.2.27) задає поліном другого ступеня, графіком якої є парабола. Для визначення невідомих коефіцієнтів поліномів зажадаємо виконання у всіх вузлах наступних умов


, , ,

(2.2.28)


які вказують на те, що у вузлах значення поліномів збігаються з табличними значеннями функції . Крім того, вимагатимемо безперервності першій похідній сплайна у всіх внутрішніх вузлах


, .

(2.2.29)


Для того щоб визначити сплайн необхідно знайти невідомих коефіцієнтів:


; ; , .

(2.2.30)


Умови (2.2.28) і (2.2.29) дають рівнянь для визначення коефіцієнтів (2.2.30). Таким чином, бракує ще однієї умови і в якості нього, наприклад, можна взяти таку умову




(2.2.31)


або аналогічне йому умову для правого кінця інтервалу


.

(2.2.32)


Покажемо, що умови (2.2.28), (2.2.29) та (2.2.31) дають можливість визначити всі коефіцієнти (2.2.30). З (2.2.31) знаходимо


.

(2.2.33)


З (2.2.28) маємо


, ,

(2.2.34)


Звідси отримаємо


.

(2.2.35)


З (2.2.29) маємо


,

(2.2.36)


з якого знаходимо


, .

(2.2.37)


Підставляючи (2.2.37) в (2.2.36), отримаємо формулу


,

(2.2.38)


За допомогою якої послідовно можна обчислити всі значення , , ..., за відомим коефіцієнтом . Далі за формулою (2.2.37) можемо знайти значення , , ..., . У підсумку з (2.2.36) знаходимо


.

(2.2.39)


Таким чином, всі коефіцієнти (2.2.30) визначаються однозначно через координати вузлів і відповідні значення функції .

Інтерполяція кубічними сплайнами найбільш широко застосовується в даний час. За аналогією з параболічним сплайном (2.2.27) кубічний сплайн дефекту 1 задається наступним чином:




(2.2.40)


на кожному інтервалі . Вимагатимемо, щоб у всіх вузлах значення сплайна збігалися зі значеннями функції


, , ,

(2.2.41)


а у внутрішніх вузлах зажадаємо безперервності першої та другої похідних


, ,

(2.2.42)




, .

(2.2.43)



Загальне число невідомих коефіцієнтів , А число рівнянь для їх визначення (Див. (2.2.41) - (2.2.43)). Відсутні умови, як правило, задають на кінцях інтервалу при , , Наприклад


, .

(2.2.44)


При цьому сплайн визначається єдиним чином, так як систему лінійних рівнянь, яка задається умовами (2.2.41) - (2.2.44), можна звести до трьох діагонального вигляду і вирішити методом прогонки.

Приклади задач, що використовують інтерполяцію функцій








(2.2.45)







(2.2.46)







(2.2.47)







(2.2.48)







(2.2.49)







(2.2.50)







(2.2.51)







(2.2.52)
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації