Реферат - Конформне відображення в багатовимірних евклідових просторах

1.doc (1 стор.)
Оригінал


Федеральне агентство з освіти

Державна освітня установа вищої професійної освіти

Амурський державний університет

(ГОУВПО «АмГУ»)


кафедра математичного аналізу і моделювання


ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА до курсової роботи


на тему: конформне відображення в багатовимірних евклідових просторах

з дисципліни: теорія функцій комплексного змінного


Виконавець

Студент 551группи


Керівник

(Асистент) _____________


Нормоконтроль

(Асистент) _____________


Благовєщенськ 2007

РЕФЕРАТ

Робота 30с., 4 рис., 5 джерел.


Конформне відображення, дробно лінійна функція, циліндричні системи координат, комплексна частина, необхідні умови, відображення, перетин, формула Ейлера, функція Жуковського.


Розвиток ідей про конформних відображеннях належать Бернхарду Ріманом (1826-1866), він перший обгрунтував геометричні питання теорії та їх застосування. Особливий внесок зробив так само Леонард Ейлер. В цій роботі будуть розглянуті основні види конформних відображень та їх властивості. Буде розглянута функція Жуковського і її реалізація в просторі.


ЗМІСТ

Введення

1 Поняття конформного відображення в просторі 5

2 Елементарні функції 7

    1. 2.1 Дробова функція 7

    2. 2.2 Статечні функції 9

    3. 2.3 Показова функція 13

    4. 2.4 Логарифмічна функція 15

    5. 2.5 Елементарні тригонометричні функції 17

    6. 2.6 Тригонометричні та гіперболічні функції в просторі 18

    7. 2.7 дрібно-лінійна функція 19

  1. Відображення кулі в кулю 22

  2. Функція Жуковського 25

  3. Профілі Жуковського в просторі 28

Висновок 29

Бібліографічний список 30


ВСТУП

У даній роботі я розгляну конформні відображення, реалізовані в багатовимірних евклідових просторах. Виклад я почну з введення поняття конформного відображення представленого вигляді теореми, розгляну елементарні функції, задані в просторі і потім викладу основний принцип відображення кулі в кулю.


1 ПОНЯТТЯ конформних відображень У ПРОСТОРІ

Введемо поняття конформного відображення вигляді теореми.

Теорема 1. Нехай функція W = f () має в точці  0 похідну f '( 0), відмінну від нуля і від коренів з нуля, тобто j f' ( 0) , . Тоді ця функція реалізує в точці конформні відображення. Це означає, що при переході з простору () в простір (W) дотична до будь гладкої кривої у фіксованій точці  0 повертається на один і той же кут в просторі і має один і той же коефіцієнт розтягування.

Доказ. Нехай в деякій області простору ()

(1)

задана функція W = f (), дифференцируемая в точці  0 f '( 0) , І (нерівна коріння з нуля).

Розглянемо рівняння гладкої кривої  в просторі у вигляді  = S (t), де t - параметр, який змінюється уздовж цієї кривої, що проходить через точку

0 0 - . Проведемо дотичну до цієї кривої в точці  0. Положення дотичної в просторі (її нахили до координатним площинам) характеризується кутами  0,0. Нехай  '- образ цієї кривої, отриманий при відображенні W = f (), іншими словами W = f (S (t)). Диференціюємо складну функцію W '( по умові



тоді позначимо . Нехай ίθ '+ Jβ,

ίθ + Jβ.

Тоді із співвідношення похідної для складної функції маємо

θ '+ β '= arg f '( 0) + ίθ + Jβ (2)

Величину домовимося називати комплексним кутом повороту кривої  в точці  0 при відображенні W = f ().

З якщо f '( 0) , . то кут повороту в точці  0 не залежить від кривої і дорівнює інакше кажучи, всі гладкі криві, що проходять через точку  0 повертаються при відображенні на один і той же кут, що дорівнює аргументу похідної в цій точці.

3амечаніе 1. Єдиність дотичній до гладкої просторової кривої відома з диференціальної геометрії.

Зауваження 2. У разі якщо то маємо справу з чотиривимірним простором, доказ в якому аналогічно.

Зауваження 3. Сталість коефіцієнта розтягу в точці доводиться стандартним чином, як і у випадку z-площини. Він дорівнює . Таким чином, тут мова йде про справжнє відображенні, конформному в тривимірному і більш високого числа вимірів просторі.


2 ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ

У теорії функцій комплексної змінної при розгляді конформного відображення дуже важливу роль відіграють, елементарні функції. Розглянемо деякі з них:

    1. Дробова функція

Функція виду , Називається дробно лінійної.

У тривимірному просторі циліндричної системи координат запишемо:

(3)

Виділення комплексних частин дає:

(4)

Перевіряємо умови дифференцируемости функції:













Необхідні умови виконуються. Визначимо похідну функції











Таким чином, і для цієї функції залишається без зміни вигляду табличній похідної:

(5)

Визначимо функцію в просторі чотирьох змінних в циліндричних координатах



Виділення комплексних частин дає:

(6)

(7)

Неважко перевірити, що комплексні частини W, R задовольняють умовам диференціювання. Не зупиняючись на елементарних викладках, визначимо похідну в цьому просторі









Таким чином, вид похідною від функції , Визначеної в чотиривимірному просторі, відповідає табличному увазі похідною від функції, визначеної як у площині комплексного змінного (z), так і дійсної області, .

2.2 Статечні функції

Функції виду і , Називаються статечними, тут n - будь-яке ціле позитивне число. Функція  n в просторі () за вирахуванням  - тунелю дискретних точок представима в таких висловлюваннях:

звідки

, (8)

де величина  і відповідно  можуть бути комплексними.

Можна скористатися формулою (1.6), тоді

(9)

і співвідношення запишуться у вигляді:

(10)

де всі параметри дійсні.

Відображення, що здійснюється функцією  n, зводиться до повороту всіх кутів , ,  на кут (n-1) arg  і розтягування радіуса вектора в раз.

У тривимірному просторі можна записати

(11)

Доведемо, що функція  n аналітична в просторі (). Розкриємо межа



Таким чином, для будь-якого  існує межа і функція аналітична. Перевіримо умови диференціювання функції на її приватному вигляді  2.

В циліндричних координатах тривимірного простору маємо



звідки



Перевіряємо умови диференціювання:









Визначаємо похідну



Таким чином, таблична похідна залишилася без зміни.

В циліндричних координатах чотиривимірного простору перевіряємо умови дифференцируемости:

(12)

Відділення комплексних частин дає:



Маємо:



Визначаємо похідну:



Таким чином, таблична похідна залишилася в силі.

Функція  n визначена на виколоти осі, тобто в дискретних точках дільників нуля



Якщо , То . Як і раніше маємо

Функція є зворотною функції  n. Якщо , , То



Співвідношення, що визначають відображення, має вигляд:

(13)

Для однозначних гілок для функції існує таблична похідна

Функція визначена і в делителях нуля. Формально можна провести операції



При операціях з такими комплексами необхідно стежити за порядком нуля n коефіцієнтом перед ізольованим аргументом.

2.3 Показова функція

Показова функція визначена у всьому просторі ( ), Включаючи елементи дільників нуля і їм еквівалентні числа. Ніде функція не звертається нуль

(14)

Модуль комплексу дорівнює 1.

Розглянемо також функцію від елементів дільників нуля



Визначимо комплексні частини функції за умови, що елемент  визначений в тривимірному комплексному просторі циліндричних координат:



Для перевірки необхідних умов дифференцируемости визначила шість похідних:













Отже, функція є аналітичною.

Визначимо похідну від цієї функції





Таким чином, таблична похідна для експоненціальної функції залишилася в силі

Аналогічно йде справа і в чотиривимірному просторі.

2.4 Логарифмічна функція

Логарифмічна функція має вигляд ln ( ). Проведемо операції в тривимірному просторі.

Якщо , То







Перевіряємо необхідні умови диференціювання функції:











Необхідні умови диференціювання виконуються.

Визначимо похідну

Таким чином, .

Проведемо операції в чотиривимірному просторі

Виділення комплексних частин дає вирази:



Отже, для доказу необхідних умов диференціювання, обчислимо вісім похідних від функцій W і R по змінним , r, ,  і зіставимо:











(15) (16)

Легко перевіряється, що необхідні умови для диференціювання функції в просторі виконуються.

Визначимо похідну в чотиривимірному просторі







Таким чином, і в чотиривимірному просторі таблична похідна залишилася в силі

2.5 Елементарні тригонометричні функції

Визначимо функції sin () і cos () через експоненціальні функції e :

(18)

Обидва вирази є поширенням формул (z)-площини у простір (). Складаючи і віднімаючи вирази, один з одним, отримаємо

(19)

(20)

Так як таблична похідна від експоненціальної функції залишилася без зміни, то похідні від sin () і cos () визначають: ;

Вид табличних похідних залишився без зміни. Залишаються в силі і тригонометричні залежності:

(21)

(22)

2.6 Тригонометричні та гіперболічні функції в просторі

У площині комплексного змінного z тригонометричні функції визначаються через функції sin (z), cos (z), які виражені формулами , , Які є наслідком формули Ейлера. Уявна одиниця j відрізняється від уявної одиниці i лише позначенням. У просторі ця одиниця фіксує третього координатних напрямок. Алгебра цієї одиниці збігається з алгеброю уявної одиниці i. Тому в силі залишаються і формули , . Далі формули поширюються в простір.

. При переході від до отримуємо гіперболічні функції в просторі Y.

(23) (24)

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні





2.7 дрібно-лінійна функція


Функція виду , (25)

де a, b, c, d - комплексні просторові змінні, причому при , . Якщо , То і



існує при і . Рівняння однозначно розв'язні відносно :



і функція визначена в просторі ().

У точці функція дорівнює , А в точці, . Таким чином, дробно-лінійна функція здійснює відображення простору  на простір .


Функцію можна представити у вигляді

(26)

Розглянемо відображення, яке є основою



де , ,  - Дійсні числа. Тоді . Якщо  - комплексне, то де

Тоді й  2 буде мати вигляд

Проведемо перетворення



Знаменник

де





Таким чином,



де  - комплексне.

Отже, якщо , То

Таким чином промені в просторі (), що йдуть під кутами , , повертаються і проходять під кутами - , - . Відображення має властивість інверсії (рис. 1.)

(27)

Для доказу можна розглянути перетину площинами  = const і проекцію на площину (z).



Рис. 1. Інверсія точок в комплексному просторі.


3 ВІДОБРАЖЕННЯ ШАРА В ШАР

Розглянемо дробно-лінійну функцію такого вигляду:

(28)

де a,  - Дійсні числа.

Якщо a = z + j  , То

Розглянемо "перетину":

a)  = 0,  = 0, a = a 1,

тоді

тобто маємо коло у відповідному перерізі;

б) при a = 0,  = 0, a = a 2, маємо

це знову коло.

Зауваження. Підмножина дробно-лінійних перетворень дають відображення кулі на себе, є безліччю рухів простору Лобачевського (якщо куля з виколоти віссю назвати простором Лобачевського).

Проведемо викладки, пов'язані з цим відображенням, більш детально:









Розпишемо чисельник цього виразу







а також знаменник



(29)

Відображення верхнього півпростору на одиничний куля. Функція (рис.2)

(30)

де

відображає верхнє півпростір на внутрішню область, обмежену одиничної сферою, причому точка  переходить на площині в точку .



Рис. 2. Відображення верхнього півпростору в повне простір

Доказ. Досить показати, що всяка точка площини (z) переходить при зазначеному відображенні на поверхню одиничної сфери. У самому справі

(31)

У загальному вигляді відображення записується у вигляді

(32)


де a,  - Будь дійсні числа.


4 ФУНКЦІЯ ЖУКОВСЬКОГО

Розглянемо функцію

(33)

і визначимо області однолістності цього відображення в просторі. Як звичайно, покладемо , Де ,  дійсні числа;

 - комплексне. Припустимо, що  1 і  2 переходять в одну точку в просторі ()

(34)

Таким чином, область однолістності простору () не повинна містити крапок, пов'язаних співвідношенням

(35)

У просторі () - це точки, що лежать всередині або поза сферою з виколоти віссю. Досліджуємо відображення при дотриманні цих обмежень







Проведемо перетворення комплексних частин









Застосуємо формулу Ейлера:

(36)

(37)

Проведемо послідовно перетину сфери площинами, паралельними площині (z). Це площині  = const. Спочатку покладемо  = 0, тоді

(38)

Це колишня функція Жуковського в площині (z). На рис.3 представлено відображення, здійснюване цією функцією. Поверхня сфери стискається в коло з подвійною кордоном, який по діаметру перерізає виколоти вісь. Покажемо, що криві C 1, C 2, C 3, C i при своєму відображенні не мають, точок перетину в колі радіуса R =  отримаємо, комплекс



Перетворимо його за формулою Ейлера





Рис. 3. Відображення зовнішнього простору сфери в простір кола радіуса, рівного радіусу сфери товщиною.

Якщо R 2 = R 1, то одночасно повинні виконуватися дві умови:



які випливали б з рівності модулів комплексів. Але це нездійсненно. Аналогічна ситуація виникає, якщо припустити, що F 1 = F 2 для цих кривих.

Таким чином, відображення площин, січних сферу, є однолістним. Виколоти вісь також однозначно відображається в виколоти вісь j  . Окружности радіусу кореня з нуля відображаються в відрізки, двічі прохідні по лінії Г 4 (рис. 3).


5 ПРОФІЛІ ЖУКОВСЬКОГО У ПРОСТОРІ

Розглянемо в просторі () два стосуються зсередини в точці x = a кулі (рис. 4). Функція Жуковського відображає поверхню великої кулі на поверхню, що нагадує тіло дельфіна або фюзеляж літака




Рис. 4. Відображення простору, укладеного між двома сферами, в просторовий обсяг типу "Крапля"

Площина Q = 0 переводить функцію в z - площина, так що отримуємо відображення контуру в контур С 1, також лежить в z-площині.

Якщо розглядати відображення площини, заданої кутами  = 0,  = , то отримаємо контур С. Система цих контурів і задає відображення (рис. 4).


ВИСНОВОК

У цій роботі я розглянула конформні відображення, реалізовані в багатовимірних евклідових просторах. Дала визначення конформного відображення представленого вигляді теореми, розглянула елементарні функції, задані в просторі і потім виклала основний принцип відображення кулі в кулю.


БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

  1. Гурвіц А.В Теорія функцій / Р.А.Курант. - М.: Наука, 1968. - 648.

  2. Лаврентьєв М.А. Методи теорії функцій комплексного змінного / В.В. Шабат. - М.: Науковий світ, 1978. - 456с.

  3. Леонтьєва Т.А. Лекції з теорії функцій комплексного змінного / Т.А. Леонтьєва. - М.: Науковий світ, 2004. - 120с.

  4. Сидоров Ю.В. Лекції з теорії функцій комплексного змінного / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1989. - 480с.
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації