Лекції - Електродинаміка та поширення радіохвиль

1) 3-17__ (3-20) (ред.2). Doc (1 стор.)
2) 18-33_ (21_37) (ред.3). Doc (1 стор.)
3) 34-46 (38-52) (ред.2). Doc (1 стор.)
4) 47-62 (53_68) (ред.4). Doc (1 стор.)
5) 63-74 (69-81) (ред.3). Doc (1 стор.)
6) 75-87 (82_95) (ред.2). Doc (1 стор.)
7) 88-102.DOC (1 стор.)
8) 103-120.DOC (1 стор.)
9) 121-137.doc (1 стор.)
l0) 138-150.doc (1 стор.)
l1) 151-158.doc (1 стор.)
l2) 158-184.doc (1 стор.)
Оригінал



      1. 2.10. Повна система рівнянь Максвелла.


Повний аналіз макроскопічних електромагнітних процесів можливий на основі повної системи основних рівнянь електродинаміки. До числа яких відносять:

- 4 рівняння Максвелла (2)

-Система рівнянь станів (матеріальні рівняння) (3)

Для лінійних анізотропних середовищ рівняння Максвелла залишаються в тій же самій формі, а в рівняннях стану хоча б один електродинамічний параметр ( а,а, ) є тензорної величиною.


На основі рівнянь Максвелла можна зробити висновок про властивості електромагнітного поля:


  1. Електричне і магнітне поля взаємопов'язані. Незалежне існування електричного поля можливо тільки в електростатичному випадку.

  2. Джерелом електромагнітного поля є електричні заряди і струми.

  3. магнітне поле завжди вихрове, електричне поле може бути як вихровим, так і потенційним. Чисто потенційне електричне поле можливо тільки в електростатичному випадку.

  4. Силові лінії електричного поля можуть мати витік, стік. Силові лінії магнітного поля завжди безперервні.

  5. З першого рівняння Максвелла випливає, що соленоідального магнітне поле охоплює силові лінії повного струму, утворюючи з ними правовінтовую систему.

  6. З 2 рівняння Максвелла випливає, що лінії вихрового електричного поля охоплюють силові лінії вектора , Утворюючи з ними левовінтовую систему.

  7. Рівняння Максвелла є лінійними і диференціальними, тому для електромагнітного поля справедливий принцип суперпозиції, тобто поле, створюване системою джерел електромагнітного поля, можна визначити як суму полів, створюваних окремими джерелами.

  8. при розгляді електродинамічних задач використовують рівняння Максвелла в інтегральній формі.

Магнітний потік у другому рівнянні Максвелла вважається позитивним або негативним залежно від того збігається чи ні з позитивною одиничної нормаллю поверхні. У свою чергу векторне поле вважається позитивним або негативним залежно від того відбувається збільшення або зменшення позитивного магнітного потоку.

Рівняння утворюють повну систему електродинаміки є лінійними диференціальними рівняннями. Тому можна стверджувати, що для електромагнітних полів справедливий принцип суперпозиції: поле порушену системою джерел можна представити як суму полів окремих джерел. У ряді випадків рівняння Максвелла в диференціальній формі виявляються не застосовні. У цих завданнях ми використовуємо рівняння Максвелла в інтегральній формі.



        У випадку гармонійних електромагнітних полів систему рівнянь Максвелла можна спростити, використовуючи штучний прийом: метод комплексних амплітуд.

      1. 2.11 Класифікація електромагнітних середовищ.

Сукупність рівнянь Максвелла і матеріальних рівнянь дозволяють розглянути будь електромагнітні процеси класичної електродинаміки. У ряді випадків ці рівняння можуть бути спрощені.

1 випадок. Нехай, електромагнітне поле не залежить від часу і відсутня переміщення заряджених часток. У цьому випадку повна система розпадається на дві не пов'язані системи (1) і (2). Таким чином, в цьому випадку електричні і магнітні поля можна вважати незалежними.

; ; (1)

; ; (2).

Верхня система (1) описує поле нерухомих, незмінних в часі електричних зарядів (електростатичні завдання). Вона називається повною системою диференціальних рівнянь електростатики. Нижня система (2) описує магнітне поле постійних магнітів. З її допомогою може бути вирішена задача про магнітне поле, збуджує постійними струмами, які протікають поза розглянутій області, яка не «зчеплена» з лініями струму (не охоплює лініями струму). Подібні завдання називаються магнітостатичних, а систему називають повною системою диференціальних рівнянь магнітостатики.

Якщо в розглянутій області присутні постійні струми, то магнітне і електричне поля не можна вважати незалежними. У цьому випадку повна система рівнянь електродинаміки записується в наступному вигляді: , , , , , , : Система (3).

Електромагнітне поле постійних струмів називається стаціонарним, а систему (3) називають повною системою диференціальних рівнянь стаціонарного електромагнітного процесу.

У разі стаціонарного процесу електричне і магнітне поля взаємопов'язані. Іноді в окрему групу виділяють квазістаціонарні процеси (повільно мінливі в часі).

У цьому випадку, якщо в розглянутій області:



в квазістаціонарних процесах .

У випадку гармонійних процесів рішення електродинамічних задач спрощується шляхом використання теорії ФКП (введення комплексних амплітуд).

        2.12 Рівняння Максвелла і сторонні струми.

У правій частині першій рівняння Максвелла в диференціальній формі входить векторна величина об'ємної щільності електричного струму, яка збуджується в середовищі під дією зовнішнього електричного поля.



Цей струм виникає в результаті впливу електричного поля на провідне середовище. У загальному випадку праву частина1-ого рівняння Максвелла доповнюють ще однією векторної величиною - вектором об'ємної щільності стороннього електричного струму, , Який розглядають першопричиною виникнення електричного поля в розглянутій частині простору.

Часто, замість стороннього електричного струму, вводять стороннє електричне поле (вектор напруженості стороннього електричного поля Е ст). збуджується сторонніми електричними струмами протікають в не розглянутої частини простору.

У разі постійних процесів в якості Е ст розуміється напруженість електричного поля сторонніх е.р.с, які мають не електричну природу (хімічну, дифузійну і т.д.).

Введення і істотно спрощує вирішення електродинамічних задач т. к. виключає детальний аналіз в деякій частині простору. Аналогічно поняттю сторонні електричні струми вводять поняття сторонні електричні заряди:

1 рівняння Максвелла (1)

3 рівняння Максвелла (2)

У разі змінних електромагнітних процесів сторонні струми і сторонні заряди пов'язані рівнянням безперервності:

.

    Розділ 3. Граничні умови.

        3.1 Незастосовність рівнянь Максвелла в диференціальної

        формі на межі розділу діелектричних середовищ.


Рівняння Максвелла в диференціальній формі справедливі для опису середовищ електродинамічні параметри, яких або є безперервними функціями координат поля в лінійних середовищах, електродинамічні параметри ( а,а, ) яких не залежать від координат, або є безперервними функціями координат. На практиці, найчастіше виникають задачі, в яких присутні електродинамічні середовища, що відрізняються електродинамічними параметрами. На межі розділу середовищ, де відповідні параметри міняються стрибком, операція диференціювання, а стало бути, і рівняння Максвелла в диференціальній формі, незаконна. У цьому випадку для опису електромагнітного поля при переході кордону розділу середовищ, використовують рівняння Максвелла в інтегральній формі.









Співвідношення, які описують взаємозв'язок векторів електромагнітного поля на межі розділу середовищ, називають граничними умовами.


3.2. Граничні умови для векторів електричного поля

        Умови для нормальних складових векторів Е і D.

        Поверхневі заряди.



На межі розділу двох середовищ, що відрізняються обсягом і діелектричною проникністю, виділимо елементарну площадку  S. Розміри її настільки малі, що її можна вважати плоскою. В межах майданчика нормальна складова вектора електричного зміщення на межі розділу в межах була розподілена рівномірно. На  S, як на підставі, побудуємо прямий циліндр висотою  h так, щоб його заснування ( і ) Знаходилися в різних середовищах. Одиничний вектор - Нормаль до основи вважається позитивною, якщо вона з другого середовища в першу.

Застосуємо до цього циліндру 3-тє рівняння Максвелла в інтегральній формі: (1)

Повну поверхню представимо у вигляді суми:

(2)

Розглянемо межа для лівої частини при . Устремим таким чином, щоб  S 1 і  S 2 увесь час були в різних середовищах. Очевидно, що в межі  S 1 і  S 2 співпадуть з майданчиком  S. Враховуючи, що напрямок вектора збігається з напрямком зовнішньої нормалі до поверхні циліндра для доданків, в лівій частині отримаємо наступне граничне співвідношення:

(3)

(4)

(5)

Здійснюючи граничний перехід при у співвідношенні (2) з урахуванням виразу (3), отримаємо: (6).

У даному співвідношенні слід розглянути 2 випадки:

1. Нехай, на межі розділу S відсутні поверхневі заряди, тоді при будь-якому кінцевому значенні  е. (об'ємної щільності заряду) межа праворуч буде дорівнює нулю і, отримаємо: (7)

З (7) випливає, що при відсутності поверхневого заряду на границі розділу S нормальна складова вектора електричного зміщення D n неперервна при проходженні кордону розділу.

2. Будемо вважати, що електричні заряди розподілені по поверхні S з поверхневою щільністю .



      В цьому випадку межа в правій частині (6) можна перетворити в такий спосіб: .

      Рівномірний розподіл нормальної складової вектора D на межі розділу середовищ в межах Δ S пов'язане з умовою нормального розподілу поверхневої густини заряду в межах Δ S.

      (8).

      Підставляючи (8) в (6) отримаємо, що за умови поверхневого розподілу заряду гранична умова буде наступним:

(9) .

      З (9) випливає, що при наявності поверхневих зарядів на межі розділу нормальна компонента вектора D зазнає розрив величина якого визначається аовирхностной щільністю електричних зарядів.

Переходячи в (7) до напруг електричного поля отримаємо:

або (10)

Переходячи в (9) до напруг електричного поля отримаємо: (11) - справедливо при наявності поверхневих зарядів. З (10) та (11) випливає, що навіть за відсутності поверхневих зарядів нормальна компонента вектора Е зазнає розрив, величина якого визначається співвідношенням діелектричної проникності середовищ. Наявність поверхневих зарядів змінюють величину цього розриву.

PS Поверхнева щільність електричного заряду це зручна ідеалізація, яка спрощує рішення задач. Фактично електричний заряд розподілений в кінцевому прикордонному шарі. Ми вдаємося до поняття площині поверхневого заряду, коли нас не цікавить значення D в разі зарядженого шару.



        3.3.Условія для дотичних складових вектора E і D

На межі розділу середовищ, що відрізняються  а, виділимо точку. Проведемо через неї нормаль до поверхні S. Через цю нормаль проведемо площину р.

На лінії перетину площин виділимо елементарний відрізок  l, так, щоб його можна було вважати прямолінійним, і дотична, складова Е в I і II середовищах біля кордону розділу, була розподілена рівномірно. Відрізок  l включає точку, в якій побудували одиничну нормаль. У цій точці проведемо одиничний вектор дотичний до  l і одиничний вектор перпендикулярний до  l. У площині р побудуємо контур висотою  h так, щоб ділянки контуру CD і АВ знаходилися в різних середовищах. Позитивне напрямок обходу контуру ABCD пов'язано з напрямком одиничної нормалі правилом правого гвинта. Застосуємо до контуру ABCD друге рівняння Максвелла:

(1)

Уявімо контур у вигляді суми відрізків:

(2)

Три одиничних вектора пов'язані векторним співвідношенням. У доданків AB і CD векторні елементи dl рівні, тому їх можна замінити:

АВ:

CD:

Знайдемо межа у співвідношенні (2) при  h. Висоту зменшимо так, що б АВ і CD були в різних середовищах. У межі вони співпадуть з відрізком  l.





так як вектор в 1 і 2 середовищах, а також мають кінцеве значення, то



З урахуванням зазначених особливостей граничний перехід при  h  0, у співвідношенні (2), призводить до наступному співвідношенню:

(3)

На межі розділу середовищ тангенціальна складова напруженості електричного поля неперервна: (4)



Тангенціальна компонента вектора електричного змішання зазнає розрив, величина якого дорівнює відношенню діелектричної проникності середовищ. З отриманих граничних умов випливає, що на межі розділу середовищ, вектори електричного поля переломлюються.










3.4. Граничні умови для векторів магнітного поля.

Умови для нормальних складових векторів В і Н.


Є якась межа розділу середовищ. Виділяємо на ній елементарну площадку  S. Розміри малі на стільки, що в межах цього майданчика нормальна компонента розподілена рівномірно. Будуємо на підставі цього майданчика циліндр.

Застосуємо до циліндра закон Гаусса

(1)

(2)

У всіх цих інтегралах напрямок збігається із зовнішньою нормаллю до циліндра. Устремим висоту циліндра  h  0 так, щоб  S 1 і  S 2 знаходилися в різних середовищах. Тоді:



Так як має кінцеві значення, то . В результаті отримаємо:

(3)

(4)

З (3) і (4) випливає, що нормальна компонента вектора магнітної індукції неперервна при проходженні кордону середовищ. Тангенціальна компонента вектора напруженості магнітного поля неперервна тільки за відсутності на межі середовищ поверхневого струму.

В іншому випадку компонента Н зазнає розрив, який визначається відношенням магнітної проникності середовища.



        3.5. Умови для дотичних складових У і Н.

        Поверхневий струм.

Умови для дотичних складових магнітних векторів виводяться також як і для електричних. Через нормаль проводимо площину р. На лінії перетину виділяємо елемент довжини  l, малий настільки, щоб у межах цієї ділянки дотичні складові в 1 і 2 середовищах були розподілені рівномірно. На цьому відрізку будуємо контур так, щоб ділянки контуру були в різних середовищах. Позитивне напрямок обходу контура пов'язано з цими векторами правилом правого гвинта . Застосуємо до контуру перше рівняння Максвелла в інтегральній формі: (1). Ліву частину представимо у вигляді суми інтегралів по ділянках контуру:

(2)

на ділянках АВ і СD може бути представлений:



Устремим  h  0 так, щоб ділянки контуру знаходилися в різних середовищах. Тангенціальна складова розподілена рівномірно.



Так як вектори в 1 і 2 середовищах, а також вектор мають кінцеву величину, то



В результаті граничного переходу, застосованого до співвідношення (2), отримаємо

(3)



1. Нехай на межі розділу S відсутні поверхневі струми, тоді права частина співвідношення (3) звертається в нуль, отримуємо (4)

При відсутності поверхневих струмів тангенціальна компонента неперервна при проходженні кордону розділу середовищ.

2. Нехай на межі розділу середовищ S є поверхневі струми.

У цьому випадку праву частину співвідношення (3) можна перетворити





Щільність поверхневого струму розподілена в межах  l рівномірно (ця умова є наслідком вихідного припущення про рівномірний розподіл тангенціальної складової в межах  l)



З урахуванням наведених співвідношень, граничний перехід, виконаний у співвідношенні (3) призведе до наступному співвідношенню:

(5)

При наявності поверхневих струмів на межі розділу тангенціальна складова зазнає розрив, величина якого визначається щільністю поверхневого струму. Використовуючи взаємозв'язок одиничних векторів, співвідношення (5) можна переписати у векторній формі:

(6)

Співвідношення (4), (5), (6) можна переписати для магнітної індукції: (7) (8)

Із співвідношень (7), (8) випливає, що тангенціальні компоненти вектора магнітної індукції на межі розділу зазнають розрив. Наявність поверхневого струму тільки змінює величину розриву, збільшуючи або зменшуючи її. Поняття поверхневого струму це зручна ідеалізація, яка спрощує рішення задач. Струм протікає в кінцевому, за величиною, шарі. Причому тангенціальна складова неперервна в усіх точках всередині цього шару, але по різні боки цього шару тангенціальна складова має різні значення. Тому, коли ми переходимо до поверхневих струмів, ми змушені припустити стрибкоподібне зміна тангенціальної складової .


3.6. Повна система граничних умов.

Граничні умови на поверхні ідеального провідника


(1)

Відсутні граничні умови є наслідком наведених, при використанні матеріальних рівнянь

Окремий випадок, коли на межі розділу відсутні поверхневі заряди і поверхневі струми виглядає наступним чином:

(2)

Система (1) може бути записана у векторній формі:

(3)

Співвідношення (1) і (3) застосовні в самому загальному випадку. У ряді випадків ці умови можуть бути спрощені. Зазвичай при вирішенні електродинамічних задач, в яких присутні металеві тіла, зазвичай припускають, що провідність цих металевих тіл дорівнює нескінченності. Відомо, що в ідеально провідних середовищах електромагнітне поле відсутнє. Спрощено, це можна показати: закон Ома в диференціальній формі

.

В ідеально провідних середовищах  = . Об'ємна щільність не може бути дорівнює нескінченності, тобто змушені припустити, що . Нехай ідеально провідній є 2 середу, тоді співвідношення (1) і (3) будуть виглядати:

(4)

(5)

Для змінного електромагнітного поля .

2 рівняння Максвелла: , Де .

Це вийде, якщо .

Із співвідношень (4) і (5) випливає, що на поверхні ідеального провідника тангенціальна складова і нормальна звертаються в нуль.

      Розділ 4 Енергія електромагнітного поля.

      1. 4.1. Баланс енергій електромагнітного поля.



Як і будь-яка форма матерії, електромагнітне поле володіє енергією, яка може поширюватися в просторі і перетворитися в інші види енергії.

Сформулюємо рівняння балансу електромагнітного поля стосовно до деякого об'єму V, обмеженому поверхнею S. Нехай, в цьому обсязі, за рахунок сторонніх джерел, виділяється електромагнітна енергія. З загальнофізичної міркувань, очевидно, що потужність сторонніх джерел буде витрачатися на втрати, на зміну енергії і частково буде розсіюватися на поверхні S, йдучи у зовнішній простір.

Будемо вважати, що середа в обсязі V однорідна і ізотропна. Потужність в обсязі V виділяється за рахунок протікання сторонніх струмів, надалі будемо користуватися відомими матеріальними рівняннями:

(1)

; ; (2)

Матеріальні рівняння у формі (2) не дозволяють врахувати втрати пов'язані з явищем поляризації і намагнічування речовини. Рівняння балансу у формі (1) дає якісне уявлення про баланс енергії. Для отримання рівняння необхідно перейти до векторів електромагнітного поля, тобто скористатися рівняннями Максвелла. Для отримання кількісного співвідношення звернемося до рівнянь Максвелла.

Запишемо перше рівняння Максвелла з урахуванням сторонніх струмів:

(3)

Розмірність вхідних в (3) складових . Вони є векторними величинами.

Для отримання рівняння, аналогічного (1), треба рівняння (3) перетворити в скалярний і забезпечити розмірність доданків у Ватах. Зазначений алгоритм можна реалізувати, якщо кожне з доданків помножити скалярно на і проінтегрувати за обсягом.

Помножимо всі складові на Е, отримаємо:

(4)

Перетворивши ліву частину (4) використовуємо відоме векторне тотожність: . З отриманого тотожності випливає наступне вираз: (5)

Висловимо, використовуючи друге рівняння Максвелла:

; (6)

Підставляючи праву частину (6) у ліву частину (4) отримаємо:

(7)

Перетворимо попереднє вираз таким чином:



Також (7) можна записати наступним чином:

(8)

(9)



В останньому співвідношенні (9) ми зробимо наступне:

  1. поміняємо порядок диференціювання за часом, і інтегрування за об'ємом.

  2. При інтегруванні за обсягом скористаємося теоремою Остроградського - Гаусса.



Для циліндричного провідника зі струмом I: .

Для елементарного циліндричного провідника, кінці якого перпендикулярні лініям струму:

(10)

Для довільного обсягу:

(11)

У виразі (11) перший інтеграл це потужність втрат.

У лівій частині (9) варто потужність, що виділяється сторонніми струмами в обсязі V. Струм провідності, який являє собою впорядкований рух заряджених частинок, віддає енергію електромагнітного поля, якщо частинки потрапляють в гальмуючий електромагнітне поле.

Для того, щоб електромагнітне поле було гальмуючим необхідно щоб скалярний добуток задовольняло наступній умові: .

При цьому ліва частина (9) стає позитивною величиною.

Розглянемо другий доданок правої частини. Будемо вважати, що поверхня S навколишнє V є ідеально провідній

,

і провідність середовища в обсязі дорівнює нулю.

, , ,

За умовою поверхню S є ідеально провідній.





При цьому рівняння балансу має наступний вигляд:

(12)

тобто в розглянутому випадку потужність сторонніх джерел може витрачатися на зміну енергії всередині об'єму. У правій частині виразу (12) ми отримали швидкість зміни енергії .

(13)



в V =>

(14)

У цьому випадку потужність сторонніх струмів розсіюючись на поверхні S йде у зовнішній простір. Таким чином, ми отримали, що рівняння (9) повністю ідентично формулою (1).

Співвідношення (9) було сформульовано Поінтінгом (рівняння балансу енергії електромагнітного поля - теорема Пойнтінга).



Проаналізуємо кілька окремих випадків,

які слідують з теореми Пойнтінга.

1. Енергія може надходити в обсяг V не тільки за рахунок сторонніх джерел. Потік енергії, яка визначається інтегралом , Може бути направлений з зовнішнього простору всередину об'єму V.

2. Сторонні джерела можуть не тільки віддавати енергію, а також вбирати енергію електромагнітного поля. Потік заряджених частинок вбирає енергію електромагнітного поля, якщо цей потік потрапляє в ускоряющее електричне поле. При цьому скалярний добуток , А ліва частина в співвідношенні (9) стає негативною величиною.

3. Нехай, потік енергії, яка визначається останнім доданком у співвідношенні (9), спрямований всередину об'єму, причому, потужність, яка надходить, таким чином, витрачається на Джоулево втрати і убирається стороннім джерелом так, що енергія всередині об'єму V залишається незмінною. У цьому випадку співвідношення (9) перетвориться до вигляду (15)

(15)

Так як зліва стоїть повна надходить через поверхню енергія, то вектор можна трактувати як щільність потоку енергії (вектор Пойнтінга).

Вектор Пойнтінга дорівнює межі відносини енергії, що проходить за час  Т, через поверхню  S, перпендикулярно напрямку поширення енергії, при  S і  Т прагнуть до нуля. У ізотропних середовищах напрямок збігається з напрямком поширення енергії.

        4.2. Щільність енергії електромагнітного поля.

З попереднього параграфа відомо, що запас електромагнітного поля в об'ємі V: (1)

Праву частину можна подати у вигляді двох доданків, одне з яких залежить тільки від електричного поля, а інше тільки від магнітного.

; (2)

Так як енергії представлені у вигляді інтегралів за обсягом, то подинтегрального вирази можна трактувати як об'ємну щільність енергій, а їх суму - як об'ємну щільність енергії електромагнітного поля.

; (3)

(4)

Принцип суперпозиції, якому задовольняють вектори електромагнітного поля, не поширюється на енергію електромагнітного поля.

Нехай в обсязі V існує незалежності два електромагнітних поля. Енергія сумарного електромагнітного поля:





(5)

,

де W 12 - взаємна енергія електромагнітного поля. Вона може бути як позитивною, так і негативною, тобто підсумовування електромагнітних полів може призводити як до збільшення енергії результуючого поля, так і до зменшення її. Якщо електричний і магнітний вектора, сумміруемих полів, взаємно ортогональні, то очевидно, що взаємна енергія буде рівна нулю. У разі змінних процесів електромагнітна енергія безперервно змінюється. Ці зміни в кожній точці можна описати наступним співвідношенням:

(6)

Так як ліва частина і перший доданок є подинтегрального вирази, то їх можна трактувати об'ємною щільністю потужності сторонніх джерел і сторонніх втрат.

(7)

(8)

Співвідношення (8) є диференціальна форма теореми Пойнтінга.

        4.3. Швидкість поширення енергії електромагнітних хвиль.

У просторі, в якому поширюється електромагнітна енергія, виділимо енергетичну трубку (якийсь протяжний об'єм, на бічній поверхні якого вектор Пойнтінга дорівнює нулю).



Нехай, за час  t через бічну поверхню  S пройшла енергія  W і виявилася зосередженою між перетинами  S і  S 1, між якими, відстань  l. Напрямок одиничного вектора збігається з напрямком поширення енергії.

Тоді швидкість поширення енергії:

(1)

Енергію, укладену між торцями  S і  S 1:

(2),

де w - об'ємна щільність енергії, а  S '- середнє перетин.

Якщо проміжок  t взяти досить малим, щоб не встиг змінитися, то енергію:

(3)

Прирівняємо (2) до (3) і висловимо . Отримаємо:

(4)

Знайдемо межа від співвідношення (4) при  t  0. Отримаємо:

(5)

Отримали загальний вираз для величини швидкості поширення енергії. Якщо припустити, що вектори і , А стало бути, і незмінні в межах поперечного перерізу циліндра, то в цьому випадку, вектори і збігаються за напрямком поширення енергії.

(6)




Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації