Лекції - Електродинаміка та поширення радіохвиль

1) 3-17__ (3-20) (ред.2). Doc (1 стор.)
2) 18-33_ (21_37) (ред.3). Doc (1 стор.)
3) 34-46 (38-52) (ред.2). Doc (1 стор.)
4) 47-62 (53_68) (ред.4). Doc (1 стор.)
5) 63-74 (69-81) (ред.3). Doc (1 стор.)
6) 75-87 (82_95) (ред.2). Doc (1 стор.)
7) 88-102.DOC (1 стор.)
8) 103-120.DOC (1 стор.)
9) 121-137.doc (1 стор.)
l0) 138-150.doc (1 стор.)
l1) 151-158.doc (1 стор.)
l2) 158-184.doc (1 стор.)
Оригінал


4.4. Рівняння Максвелла для монохроматичного поля.

Метод комплексних амплітуд.


Будь змінні електромагнітні процеси можна представити у вигляді дискретного чи безперервного спектру гармонійних електромагнітних полів. Тому надалі будемо аналізувати гармонійні електромагнітні процеси (монохроматичні), так як сигнал будь-якої складності можна представити як суперпозицію гармонічних процесів. Зазвичай використовують метод комплексних амплітуд.

Нехай є деякий гармонічний процес:

(1),

йому у відповідність ставиться: (2)

(3)



Аналогічно і для векторних величин. Нехай, є вектор змінюється по гармонійному закону:

(4)

Йому відповідає комплексна величина:

(5)

або

(6)

Якщо, миттєві скалярні і векторні функції задовольняють деяким лінійним рівнянням, то цим же рівнянням задовільняють та їх комплексні аналоги.

Використання методу комплексних амплітуд істотно спрощує вирішення завдань з геометричними електромагнітними процесами. Причина цього: диференціювання по часу від комплексних амплітуд еквівалентно просто домноженію на jw, а інтегрування по часу еквівалентно поділу на jw.



4.5. Система рівнянь монохроматичного (гармонійного) поля.


Відомо, що рівняння Максвелла відносяться до лінійних диференціальних рівнянь. Тому в разі гармонійних електромагнітних полів в рівняннях Максвелла можна перейти до комплексних амплітудах.



Тобто якщо , То , Де

.

Використовуючи поняття комплексних амплітуд, отримаємо:



(1) тому , (2)

(3)

(4), де (5)

- Комплексна діелектрична проникність середовища.

Вхідне до співвідношення (5) відношення називається тангенсом кута електричних втрат: (6)

Комплексна діелектрична проникність у формі (5) справедлива для середовищ, в яких є тільки Джоулево втрати. У загальному випадку, коли необхідно врахувати діелектричні втрати представляється в наступному вигляді: (7)

(8) - тангенс кута діелектричних втрат

Цей загальний випадок дозволяє також врахувати втрати, пов'язані з ефектом поляризації в змінному електричному полі. Наявність діелектричних втрат приводить до появи фазового зсуву між електричними векторами D і Е. Величина якого: (9)

Переходячи у другому рівнянні Максвелла до комплексних амплітудах отримаємо: (10).

, Де (11)

(12) - тангенс кута магнітних втрат.

Магнітні втрати пов'язані з ефектом періодичної зміни намагніченості речовини в зовнішньому полі. Наявність магнітних втрат призводить до фазового запізнювання вектора В відносно вектора Н (явище гістерезису) в електромагнітних середовищах.

У разі гармонійного поля при використанні методу комплексних амплітуд, виникає додаткова можливість врахувати втрати, пов'язані з ефектами поляризації і намагнічування речовини.

У випадку гармонійних полів при використанні методу комплексних амплітуд 3 і 4 рівняння Максвелла є наслідком перших двох.

Пояснимо це:

У середовищах з провідністю нерівній нулю об'ємна щільність убуває і в разі усталеного електромагнітного процесу (до них відносяться гармонійні коливання). Можна вважати, що об'ємна щільність електричного заряду дорівнює нулю. У цьому випадку третє рівняння Максвелла запишеться наступним чином:

(13)

Це співвідношення для середовища з кінцевою провідністю. Воно є справедливим і для не проводять середовищ. Якщо в непроводящей середовищі розглянемо гармонійний процес, то:

Всяка зміна вільних електричних зарядів супроводжується появою в середовищі електричного струму, але при в середовищі неможливо поява струму задовольняє закону Ома. Тому (13) є справедливим у випадку гармонійних процесів і для непровідних середовищ.

Переходячи в рівнянні (13) до комплексних амплітудах, отримаємо:

(14)

Покажемо, що воно є наслідком (4). Візьмемо дивергенцію від правої і лівої частини. Аналогічно і для 4 рівняння Максвелла:

(15)

У випадку гармонійних полів вони повністю описуються співвідношеннями (4), (11). Будемо припускати, що в розглянутій області наявні сторонні джерела. У цьому випадку вираження (4), (11) не застосовні. Для отримання справедливих співвідношень скористаємося 1 рівнянням Максвелла:

(16)

(17)

Розглянемо 3 рівняння Максвелла. Візьмемо дивергенцію від співвідношення (16).



Для сторонніх струмів:

Остаточно отримаємо: (18)

У випадку гармонійних електромагнітних полів ми повинні скористатися співвідношенням (17) і (18), при цьому (4) і (11) залишаться без змін.

Отже, коли є сторонні джерела:



Рівняння Максвелла без урахування сторонніх джерел:



Підставляючи другу систему в першу, з використанням методу комплексних амплітуд, отримаємо:



Надалі індекс m будемо формально опускати.

    1. Рівняння балансу для середньої за період потужності.


Теорема Умова-Пойнтінга і відповідне їй аналітичне співвідношення

(1)

були сформульовані для миттєвих значень і залишаються справедливими в останній момент часу. Це співвідношення - найважливіше в класі електродинаміки.

При аналізі гармонійних електромагнітних процесів особливий інтерес представляють енергетичні параметри, усереднені по періоду. Середнє за період значення: (2)

Одержимо рівняння балансу для середньої за період значення потужності гармонійного електромагнітного процесу. Необхідно для кожного з доданків рівняння (1) отримати величину, що визначається співвідношенням (2). Т. к. в співвідношенні (2) здійснюється інтегрування за часом, а аналізується гармонійний електромагнітних процес, то, природно, треба скористатися методом комплексних амплітуд. Безпосередня заміна миттєвих функцій, відповідними комплексними аналогами можлива тільки в лінійних рівняннях. В даному випадку безпосередня заміна миттєвих векторів електромагнітного поля неможлива, так як виконуються наступні нерівності:



У разі нелінійних рівнянь, перехід до комплексних амплітудах здійснюють за допомогою наступного співвідношення:

(3)

Одержимо рівняння балансу для середньої за період значення потужності гармонійного електромагнітного поля. Спочатку визначимо середнє за період значення функцій входять до (1).

Для початку одержимо середнє за період значення вектора Пойнтінга:





розкриємо векторне твір: (4)

Таким чином, суму можна записати як подвоєну дійсну частину будь-якого з доданків:

(5)

Величина від часу не залежить. З урахуванням наведених міркувань, отримуємо:

(6)

Підставимо (6) в (2). Два останніх доданків, у співвідношенні (6), змінюються з подвоєною частотою, тобто половину періоду приймають позитивну величину, а іншу половину - негативну. Тому й середнє за період значення дорівнює нулю.

(7)

Величина, від якої береться дійсна частина (8) називається комплексним вектором Пойнтінга.

(8) - комплексний вектор Пойнтінга.

(9)

Отже, (7) визначає середнє за період значення щільності потоку енергії через поверхню S. Середнє за період значення потоку потужності:

(10)

Розглянемо кожне з доданків вирази (1).



(11)

(12)



(13)

(14)

Таким чином, в результаті пророблених нами обчислень, одержали:

(15)

(16)

У середньому за період, потужність сторонніх джерел витрачається на втрати всередині об'єму і частково йде у зовнішній простір, через поверхню S.


4.7. Рівняння балансу для комплексної потужності.



У радіотехніці часто користуються поняттям комплексної потужності. Так, якщо розглядається гармонійний процес, то комплексну потужність сторонніх джерел можна записати:



Одержимо рівняння балансу для комплексних потужностей гармонійного електромагнітного процесу. Рівняння балансу для комплексної потужності виходить аналогічно рівнянню балансу для середнього за період значення. Зручно записати рівняння Максвелла відразу для комплексно-сполучених величин:

(1)

Знову вважаємо, що втрати в середовищі обумовлені кінцевою провідністю:



Візьмемо комплексне спряження від всіх комплексних величин:

(2)

Помножимо скалярно праву і ліву частини співвідношення (1) на . Отримаємо:

(3)

Скористаємося векторним тотожністю, з якого випливає:



Висловимо з тотожності :



, Тоді:



Будемо припускати, що магнітні втрати в середовищі відсутні, тоді . Підставимо у співвідношення (3): (4)

Проінтегруємо за обсягом:


(5)

Поділимо на 2 і врахуємо, що в другому доданку стоїть різниця енергій

(6)

(7)

Вираз (7) запишемо у вигляді системи з 2-х рівнянь: одне встановлює зв'язок між активними потужностями, інше - між реактивними.

Отримаємо: (8)

(9)

Як ми і очікували, співвідношення (8) збігається з рівнянням для середніх за період потужностей. З (9) випливає, що реактивна потужність сторонніх джерел дорівнює помноженої на 2w різниці середніх за період значень енергій + реактивний потік енергії, через поверхню S. Розглянемо важливий додаток до (8) і (9). Будемо припускати, що обсяг V, для якого складено рівняння балансу, є ізольованою системою. У цьому випадку комплексний потік потужності, через поверхню S, дорівнює нулю і рівняння балансу:

(10)

У цьому випадку відбувається коливальний обмін енергією між електричним і магнітним полями, тобто один момент існує тільки електричне поле, потім і те й інше, потім тільки магнітне і т.д. У тому випадку коли

(11)

потужність сторонніх джерел стає чисто активної:

(12)

і обмін енергіями відбувається без участі сторонніх джерел. Якщо (11) не дотримується, то для цього обміну необхідна участь сторонніх джерел. Ізольована система, в якій потужність сторонніх джерел чисто активна, тобто виконується рівність (11), називається резонуючій ізольованою системою, а умова (11) називається умовою резонансу. Для характеристики ізольованою коливальної системи вводять поняття добротності.

Під добротністю Q розуміють:


(13)

(14)

Середня за період енергія електричного поля:




При резонансі , Тоді

Співвідношення (6), (7) були отримані за умови, що . Втрати в середовищі обумовлені кінцевою провідністю



У цьому випадку загальний вираз для балансу комплексних потужностей залишається незмінним, але конкретне, аналітичний вираз для доданків, зміниться. Потужність втрат записується таким чином:



На закінчення цього параграфа наведемо вираз для швидкості розподілу енергії, записане через комплексні амплітуди:

, Де DS - поперечний переріз.

У тому випадку, коли складові незмінні, отримуємо:

4.8. Теорема єдиності для внутрішньої і зовнішньої задач електродинаміки.


Рівняння Максвелла є диференціальними рівняннями в приватних похідних, тому вони допускають безліч рішень. З загальнофізичної міркувань, очевидно, що якщо повністю повторювати умови дослідів, то будемо отримувати один і той же поширення електромагнітного поля. Для забезпечення єдиності розв'язку електродинамічних задач електромагнітне поле повинне задовольняти не тільки рівнянням Максвелла, але також має задовольняти ряду додаткових умов. Вони називаються умовами єдиності розв'язку рівнянь Максвелла. Висновки та докази формулюються теоремою єдиності. Теорема єдиності окремо формулюється двох основних видів завдань:

для внутрішньої і зовнішньої задач електродинаміки.



Потрібно визначити розподіл електромагнітного поля всередині поверхні S (внутрішнє завдання). Визначимо поширення електромагнітного поля в просторі, зовнішньому по відношенню до обсягу V, обмеженому поверхнею S. ( ).

4.9. Одиничність рішення внутрішніх завдань.



Внутрішні задачі електродинаміки мають єдине рішення, якщо виконується одна з наступних умов:

1. Якщо в кожній точці М поверхні S задана проекція вектора на площину, дотичну до поверхні S в точці М: - "Е" задача.

2. Якщо в кожній точці M поверхні S задана проекція вектора на площину, дотичну до поверхні S в точці М: - "Н" задача.

3. Якщо на частини поверхні S в кожній точці задана проекція вектора на площину, дотичну до S в цій точці, а на іншій частині площині задана проекція вектора дотична до S в точці М:

- "ЄП" задача.

4. Якщо в кожній точці поверхні S задано співвідношення між проекціями векторів і на площину, дотичну до S в точці М.



4.10. Умови єдиності зовнішніх задач електродинаміки.



Для забезпечення єдиності розв'язку зовнішніх задач електродинаміки необхідно виконання однієї з умов 1-4, плюс до цього має виконуватися одна з умов, що описує поведінку електромагнітного поля при нескінченно віддалених точках (при r ® ¥).

1. Принцип граничного поглинання ( ) Вимагає, щоб ця залежність була , Тобто кожна зі складових поля повинна убувати зі збільшенням відстані швидше, ніж . У реальних середовищах маються нехай дуже малі, але кінцеві за величиною втрати, тобто . Тому, в нескінченно віддалених точках, електромагнітне поле дорівнює нулю.

2. Якщо в середовищі відсутні втрати і принцип граничного поглинання не застосуємо, в цьому випадку вектори електромагнітного поля повинні задовольняти наступним співвідношенням:

- Умови Зоммерфельда.

Фізично ці умови означають, що електромагнітні хвилі при r ® ¥ мають вигляд сферичних хвиль, що розходяться від джерела електромагнітного поля.

Розділ 5. Електродинамічні потенціали гармонійного поля.

5.1.Уравненія Гельмгольца.


Практично всі задачі електродинаміки поділяють на 2 види:

1. прямі задачі, в яких по заданому розподілу сторонніх джерел необхідно визначити відповідний розподіл електромагнітного поля.

2. обернені задачі, в яких по заданому розподілу електромагнітного поля треба визначити відповідний розподіл сторонніх джерел.

У цьому розділі розглянемо основні методи розв'язання прямих задач електродинаміки стосовно для гармонійного ЕМ поля і однорідних лінійних ізотропних середовищ.

Щодо миттєвих значень векторів поля завдання вирішують дуже рідко, через складність їх визначення. Зазвичай завдання вирішують для гармонійних полів з використанням методу комплексних амплітуд. При вирішенні будь-яких електродинамічних задач дуже рідко використовують безпосередньо рівняння Максвелла. Зазвичай рівняння Максвелла намагаються звести до відомих форм диференціальних рівнянь.

Розглянемо гармонійний електромагнітний процес. Запишемо рівняння Максвелла для комплексних амплітуд:

(1)

(2)

Візьмемо ротор від правої і лівої частини співвідношення (1). Отримаємо:

(3)

Скористаємося відомим тотожністю:

З 4-ого рівняння Максвелла: випливає, що:

(4)

Підставимо (4) і (2) в співвідношення (3) і отримаємо: або

(5)

У результаті проведених перетворень ми отримали неоднорідне диференціальне рівняння, яке в математичній фізиці називається неоднорідним рівнянням Гельмгольца. Це рівняння описує хвильові процеси. Векторне диференціальне рівняння (5) можна записати у вигляді трьох рівнянь проекцій:



(6)

Аналогічні рівняння можна отримати і для вектора напруженості поля.

(7)







Міняючи скрізь знаки, отримаємо:

(8)

При аналізі середовищ, в яких відсутні сторонні джерела, неоднорідні рівняння (5), (8) перетворюються в однорідні:

(9)

Співвідношення (5), (8), (9) називаються рівняннями Гельмгольца щодо векторів поля.
    1. Електродинамічні потенціали для комплексних амплітуд.



Навіть рівняння Максвелла, перетворені до рівнянь Гельмгольца в формі (5), (8), використовуються при вирішенні електродинамічних задач через складну правій частині. При вирішенні завдань для векторів поля рівняння використовуються тільки для полів без сторонніх джерел. Зазвичай, якщо розглянуті завдання зі сторонніми джерелами, використовують штучний прийом - вводять формальні поля, які описуються деякими функціями, званими електродинамічними потенціалами. Для них вирішують електродинамічну задачу, а відповідні вектора електромагнітного поля знаходять, використовуючи рівняння зв'язку між електромагнітними потенціалами і векторами поля.

Отримаємо вирази для електродинамічних потенціалів. Для цього запишемо рівняння Максвелла:

(1)

(2)

(3)

(4)

Існує наступне векторне тотожність:

і (5)

Векторну функцію називають векторним електричним потенціалом. Співвідношення (5) при відомому однозначно визначає вектор . Зворотне визначення неоднозначно, тобто при відомому векторному полі співвідношення (5) визначає неоднозначно. Відомо, що . Тому, якщо ввести і , То співвідношення (5) не зміниться. Тому співвідношення (5) визначає з точністю до градієнта довільної функції.

Підставимо (5) в (2). Отримаємо: або (6)

Скористаємося знову тотожністю: і .

При цьому: (7)

Скалярну функцію називають скалярним електричним потенціалом. Знак "-" поставлений, щоб у разі електростатичних полів ми отримали співвідношення, що зв'язує напруженість електричного поля і електричний потенціал. За допомогою співвідношень (5) і (7) визначили вектори магнітного та електричного полів через два формальних поля: поля векторного електричного потенціалу та поля скалярного електричного потенціалу. Отримаємо рівняння для їх визначення. Підставимо співвідношення (5) і (7) в перше рівняння Максвелла:



Множитимемо на , Розкриємо і розкриємо дужки.





Формальні поля векторного і електричного потенціалів були введені без обмежень, тобто це абсолютно довільні функції. Єдине обмеження - це те, що векторне поле електричного потенціалу визначається точністю до градієнта довільної функції. Тому ми маємо право ввести якісь обмеження. Нехай таким обмеженням буде:

(8)

Рівність (8) називається умовою калібрування.

А тепер: (9)

Аналогічним чином може бути отримано вираз для визначення скалярного електричного потенціалу. Для цього потрібно скористатися третього рівняння Максвелла. Замість запишемо співвідношення (7):





Замість підставимо то, чему вона дорівнює, використовуючи умову калібровки:





Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації