Лекції - Електродинаміка та поширення радіохвиль

1) 3-17__ (3-20) (ред.2). Doc (1 стор.)
2) 18-33_ (21_37) (ред.3). Doc (1 стор.)
3) 34-46 (38-52) (ред.2). Doc (1 стор.)
4) 47-62 (53_68) (ред.4). Doc (1 стор.)
5) 63-74 (69-81) (ред.3). Doc (1 стор.)
6) 75-87 (82_95) (ред.2). Doc (1 стор.)
7) 88-102.DOC (1 стор.)
8) 103-120.DOC (1 стор.)
9) 121-137.doc (1 стор.)
l0) 138-150.doc (1 стор.)
l1) 151-158.doc (1 стор.)
l2) 158-184.doc (1 стор.)
Оригінал


остаточно отримуємо: (10)

Таким чином, ми отримали 2 рівняння: векторне диференціальне та скалярний диференціальне з простою правою частиною. З наших міркувань ми можемо виключити , Тобто можемо звести до знаходження тільки . Для цього в співвідношенні (7) виключимо , Використовуючи співвідношення (8). Зі співвідношення (8) випливає:

(11)


5.3. Рішення неоднорідних рівнянь Гельмгольца.

Необхідно вирішити неоднорідне рівняння Гельмгольца:

(1)

Якщо вдасться вирішити це рівняння, то:





Потрібно визначити поле в шуканої точці Р поза об'єму V, причому відстань від будь-якої точки всередині об'єму до точки Р значно більше, ніж розміри обсягу. Виділимо всередині об'єму V точку Q і навколо неї побудуємо елементарний об'єм  V. R - відстань між точками Q і Р. Ми шукаємо інтенсивність поля , Збуджуваного сторонніми струмами в точці Р. Ця інтенсивність пропорційна (2). - Деякий середнє значення об'ємної щільності струму. Розміри обсягу значно менше відстані R, тому з протікають в ньому сторонніми струмами можна розглядати як точковий джерело. В силу симетрії задачі збудження поля в однорідному ізотропному просторі точковим джерелом поверхню рівних фаз (фазових фронтів) буде мати вигляд сфери (сферичної хвилі розбіжної від джерела на нескінченність).

Обмежимося простим випадком: коли поле гармонійне і амплітуда поля, збуджуваного точковим джерелом, залежить тільки від r (r - відстань від Q до P).



(3) - постійна поширення, тобто Середа без втрат.



де r - радіальна координата. Останнє співвідношення описує сферичну хвилю. Таким чином, поле, що розпочинається цими струмами в обсязі  V:

(4).

Рівняння Максвелла і витікаючі з них рівняння Гельмгольца є лінійними диференціальними рівняннями, тому для них справедливий принцип суперпозиції. В даному випадку принцип суперпозиції тлумачиться: поле, що розпочинається елементарними об'ємами, що знаходяться усередині об'єму V, можна представити як суперпозицію полів, порушуваних сторонніми струмами, що протікають всередині елементарних об'ємів.

(5)

R i - відстань від V i до точки спостереження.

Для того щоб виникло рівність треба визначити коефіцієнт пропорційності, який може бути визначений в результаті граничного переходу при нескінченному збільшенні числа елементарних об'ємів в обсязі V. В математичній фізиці, при визначенні загального розв'язку рівняння Гельмгольца, цей перехід здійснений:



Припустимо, що у нас є втрати: .

(6)

Коли сторонні джерела розподілені по поверхні S:

(7),

r - відстань від елемента поверхні S до точки спостереження.

Якщо поверхневі струми розподілені по контуру, то: (8).

5.4. Рівняння Максвелла з урахуванням магнітних струмів і зарядів.

Сучасна фізика в даний час виключає можливість існування магнітних зарядів і струмів, тим не менше, їх введення дуже спрощує вирішення завдань.

Розглянемо простір, в якому існують сторонній електричний струм і заряд. У цьому випадку рівняння Максвелла виглядають:



Будемо припускати, що в середовищі відсутні втрати:

(1)



У розглянутій області, розглянемо джерела і



Рівняння Максвелла в цьому випадку будуть:

(2)

Якщо в середовищі є й магнітні, і електричні джерела, то рівняння Максвелла:





Із зіставлення систем (1) і (2) випливає, що з будь-якої з них може бути отримана інша, якщо у вихідній системі здійснити наступні перестановки:

(3)

Перестановки (3) одержали назву принципу перестановною подвійності. Цей принцип дозволяє в разі, якщо отримано рішення з одними сторонніми джерелами, отримати готове рішення для інших сторонніх джерел, не вирішуючи це завдання, здійснивши перестановки у відповідності із співвідношенням (3) в готовому рішенні задачі зі сторонніми джерелами. У випадку, коли є сторонні електричні джерела, ми будь-яку задачу вирішуємо таким чином:





Скористаємося принципом перестановною подвійності. Отримаємо співвідношення для сторонніх магнітних джерел:



У тому випадку, якщо в розглянутій задачі маються і ті, й інші джерела, отримуємо:




Розділ 6. Плоскі електромагнітні хвилі.

6.1. Загальні відомості.

Під хвилями увазі коливальні рухи безперервних середовищ. Принципові відмінності в математичному описі хвильових процесів і коливань струмів і напруг в радіотехнічних ланцюгах полягає в тому, що для повного опису будь-якої системи досить знати кінцеве число струмів і напруг на різних ділянках схем. Для повного опису хвильового процесу необхідно знати його характеристики в нескінченно великому числі точок у розглянутому просторі. Природа хвильових процесів досить різноманітна: електромагнітні хвилі, акустичні, гравітаційні і т. д. Фізики вважають, що при поширенні будь-яких хвиль середу поступово втягується в деякий фізичний процес, в результаті якого відбувається поширення енергії в просторі.


6.2. Плоскі електромагнітні хвилі в однорідному ізотропному

середовищі без втрат.


Будемо розглядати вільні (існуючі без сторонніх джерел) гармонійні коливання електромагнітного поля в однорідному ізотропному середовищі без втрат ( ). У цьому випадку для визначення характеристик електромагнітного поля зручно скористатися однорідними рівняннями Гельмгольца щодо векторів електромагнітного поля.

(1)

(2)

- Хвильове число.

Векторні рівняння (1) і (2) можна записати у вигляді системи з трьох скалярних рівнянь:

(3)

(4)

Найбільш просто рівняння (3) і (4) і їх рішення виглядають у випадку плоских електромагнітних хвиль. Під плоскими хвилями увазі електромагнітні хвилі, що поширюються уздовж лінійної координати, в кожен фіксований момент часу незмінні в площині, перпендикулярній до напрямку поширення. Будемо вважати, що хвиля, розповсюджується вздовж осі Z, тобто вектор Пойнтінга:

(5)

Зі співвідношення (5) видно, що вектор Пойнтінга визначається компонентами електромагнітного поля, що знаходяться в площині xOy. В даному випадку відсутні складові поля вздовж осі z. Таким чином, повинні виконуватися умови:

так як, за визначенням, поле повинно бути незмінно в площині поширення хвилі, то:

(6)

Використовуючи співвідношення (6), вирази (3) і (4) можна переписати таким чином:

(7)


(8)

Рішення кожного з рівнянь: (9)

(10)

Для того, щоб не збільшувати кількість постійних інтегрування ми компоненти поля знайдемо з використанням рішень (9), (10) і рівнянь Максвелла.



(11)



Використовуючи співвідношення (11), отримаємо:

(12)

(13)

Виносячи jk за дужки, одержимо:

(14)

(15)

Отримаємо систему рішень: (16)

(17)

(18)

(19),

де , [Ом] - характеристичний опір середовища, определяющееся властивостями середовища.

Пари (16) - (17) і (18) - (19) утворюють вектор Пойнтінга, орієнтований по осі z. Отримані нами, рішення являють собою суму двох доданків (так як вирішувалося диференціальне рівняння). Уточнимо фізичний зміст кожного доданка. Для цього в рівнянні (16) перейдемо від комплексних амплітуд до миттєвим значенням.



(20)

Аргумент першого доданка - (21)

Аргумент другого доданка -

Розглянемо аргументи й доданки для t = t 1, z = z 1, тобто . Дамо прирощення часу і визначимо зсув точок цього хвильового процесу з постійними фазами .



Для того, щоб оцінити це зміщення, здійснюємо наступні рівності:

(22)

(23)

Приводячи подібні члени в співвідношеннях (22) і (23), отримаємо:

(24)

(25)

Висловлюючи в першому і другому випадках, отримуємо:

(26)

(27)

Співвідношення (26) визначає переміщення фіксованої фази , А співвідношення (27) - , Тобто співвідношення (26) і (27) визначають фазову швидкість. Співвідношення (26) визначає позитивну фазову швидкість. Стало бути, компонента і відповідна їй відповідають плоскій хвилі розпросторюється в позитивному напрямі осі z. Аналогічно і співвідношення (27).

Отже, в отриманому нами рішенні (16) перший доданок для плоскої хвилі в позитивному напрямку, другий доданок - в негативному.

Уточнимо фізичний зміст хвильового числа k. Хвильове число k показує зміну фази хвилі в радіанах при проходженні хвилею шляху в 1 метр. Мінімальна відстань, на якому фаза хвилі змінюється на 2  називається довгою хвилі (просторовим періодом).

(28)

(29)

Проаналізуємо отримані рішення на прикладі , .





У цих загальних рішеннях виділимо доданки, які відповідають хвилі, що поширюється в позитивному напрямі осі z:

(30)

(31)

Перейдемо до миттєвим значенням:

(32)

(33)

1. Z = const - поверхня рівних фаз являє собою площину.

2. Поверхню рівних амплітуд збігається з поверхнею рівних фаз (плоска хвиля однорідна).

3. В напрямку поширення відсутні складові поля (плоска, однорідна, поперечна).

4. Компоненти поля плоскої хвилі взаімноортогональни і перпендикулярні напряму поширення хвилі.

Між складовими поля плоскої хвилі існує взаємозв'язок.








Визначимо енергетичні характеристики хвилі:

- Об'ємна щільність електричної енергії.

- Об'ємна щільність магнітної енергії.

Так як середа однорідна, ізотропна і без втрат,

.

Визначимо швидкість поширення енергії:

.

Рівняння для фазової швидкості: , Де .

Тоді в разі середовища без втрат: .

Різні комбінації повного рішення для плоскої електромагнітної хвилі фактично відповідають одній і тій же плоскій хвилі при різних її орієнтаціях, щодо обраної системи координат.





6.3. Плоскі хвилі в однорідному ізотропному середовищі з провідністю відмінною від нуля.

У середовищі з провідністю відмінною від нуля енергія електромагнітної хвилі частково витрачається на збудження і підтримання струмів провідності, тобто хвиля в процесі поширення загасає. У загальному випадку поряд з Джоулево втратами в середовищі можуть бути присутніми також діелектричні і магнітні втрати. У цьому випадку:

(1)

(2)

(3)


У цьому випадку рішення за формою збігаються з рішеннями, отриманими в попередньому параграфі.


(4)

(5)

(6)

Перейдемо для з'ясування фізичного сенсу до миттєвим значенням:



Ступінь убування амплітуди:

-Характеризує ослаблення хвилі.



У певний фіксований момент часу зобразимо :

Відзначимо фізичний зміст:  - комплексна постійна розподілу.

 - її дійсна частина, зміст той же, що і у k, тобто показує зміну фази хвилі в радіанах при проходженні хвилею шляху в 1 метр (фазова постійна);  - уявна частина . Показує у скільки разів зменшується амплітуда хвилі на шляху в 1 метр (постійна загасання).

Зменшення амплітуди хвилі в процесі поширення характеризують величиною затухання:

, [Нп] (7)

, [ДБ]

Будемо розглядати випадок, коли втрати у середовищі викликані кінцевої провідністю (тільки Джоулево втрати):

і ,

(8)

Хочемо отримати вирази для  і . Зведемо в квадрат і виділимо реальні та уявні величини. Отримаємо:

()



Висловимо з другого рівняння уявну частину і підставимо в перше.





Вирішуємо квадратне рівняння:



Так як зліва стоїть квадрат, то в цьому співвідношенні враховується тільки знак "+". Тоді:

Звідки отримуємо: (9)

Скористаємося співвідношенням () з якого випливає, що уявна частина: .

Підставимо (9) в ():



Так як зліва стоїть квадрат, то права частина не може бути негативною. Отримуємо:



(10)

Проаналізуємо експонентний множник . Підстановка замість . Можна отримати: . Фізично реальними є перше і останнє твори. Перше з них відповідає затухаючої хвилі, що поширюється в позитивному напрямі осі z, а останнє - в негативному напрямку осі z. Таким чином полі плоскої хвилі, що розповсюджується в середовищі з втратами, може бути представлено наступними співвідношеннями:

(11)

(12)

В даному випадку характеристичний опір середовища є комплексною величиною.





Доцільно поступити наступним чином:









(13)



Розглянемо, як змінюється фаза і при зміні  = 0 ... .





З ростом провідності характеристичний опір по модулю убуває.

Висновок: За визначенням . У середовищі з провідністю відмінною від нуля при постійній напруженості електричного поля із зростанням провідності збільшується амплітуда магнітної компоненти .

Фізично це можна пояснити:

в середовищі з провідністю рівною нулю присутні тільки струми зміщення . Якщо провідність дорівнює нулю, то в середовищі з'являються проводять струми. Причому при незмінній напруженості електричного поля і діелектричної проникності середовища щільність струму залишається незмінною.

Проаналізуємо отриманий результат. Нехай має тільки іксів складову, тоді вектор буде мати одну складову, орієнтовану по осі y, якщо хвиля поширюється вздовж осі z. Будемо припускати, що амплітуда є дійсною величиною.



Перейдемо до миттєвим значенням:



Проаналізуємо. Поверхня рівних фаз визначається рівнянням z = const. Поверхня рівних амплітуд збігається з поверхнею рівних фаз, тобто розглянутий процес є плоскою однорідної хвилею.

Маються складові поля, взаємно ортогональні і перпендикулярні напрямку розповсюдження хвилі, тобто вона є і поперечної. Амплітуда хвилі експоненціально убуває в процесі її розповсюдження. В даному випадку магнітна складова поля відстає від електричної на кут .

Проаналізуємо основні характеристики електромагнітної хвилі. Фазова швидкість дорівнює:



З цього рівняння випливає, що так як > k, то фазова швидкість в середовищі з втратами менше фазової швидкості в середовищі без втрат, так як .

В даному випадку фазова швидкість є функцією частоти. Із зростанням частоти tg  убуває і фазова швидкість зростає. Фазова швидкість залежить від провідності середовища. З ростом провідності tg  збільшується і фазова швидкість зменшується.



Зі співвідношення видно, що  в середовищі з втратами менше  в середовищі без втрат. З ростом провідності tg  збільшується і  убуває. Поширення хвилі супроводжується переносом енергії. Вектор Пойнтінга:





Середнє за період значення:

Якщо ми спробуємо обчислити швидкість поширення енергії, то всі дані є:


Після підстановки одержимо, що .



За розглянутими результатами можна відзначити, що характеристики плоских хвиль в середовищі з втратами і без втрат істотно відрізняються. Головна принципова відмінність полягає в тому, що V ф, V Е, z з в середовищі без втрат незмінні при будь-яких частотах і визначаються тільки електродинамічними параметрами середовища. У середовищі з втратами ці ж параметри є функціями частоти. Явище залежності параметрів електромагнітної хвилі від частоти називається дисперсією, а відповідні середовища називаються диспергуючими. Дисперсія можлива і в середовищах без втрат, якщо хоча б один з електродинамічних параметрів є функцією частоти.

Розглянемо два характерних випадку розподілу електромагнітних хвиль у реальних середовищах, тобто визначимо параметри плоскої хвилі в реальних діелектриках і металах.

6.4. Поширення хвиль в реальних діелектриках.

Для реальних діелектриків . (1)

Використовуючи нерівність, дужку можна представити у вигляді ряду Маклорена:



(2)

Обмежуючись трьома елементами розкладу, нехтуючи всіма іншими, отримуємо:

(3)

Прирівнюючи реальну і уявну частини, отримаємо:

(4,5)

Використовуючи вираз для , отримаємо:

(6)




V о - швидкість світла в середовищі.

З результатів випливає, що параметри плоскої хвилі в реальних діелектриках мало відрізняються від параметрів у середовищі без втрат. Постійна загасання  в реальних діелектриках є дуже малою величиною й у першому наближенні не залежить від частоти. У реальних діелектриках дисперсійні властивості виявляються слабо.

6.5. Поширення хвиль в реальних металах.


У провідних середовищах . Загальна вираз:

(1)

(2)

Нехтуючи одиницею, одержимо ( лінейноим образо залежать від частоти):

(3)

 і  не лінійно залежать від , отже, зі зміною  вони будуть істотно змінюватися.

Отримаємо вираз для фазової швидкості:

(4)




Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації