Лекції - Математична економіка

МАТ ЕКОНОМІКА Лекціі.doc (1 стор.)
Оригінал




Федеральне агентство з освіти

ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________



Кафедра «Інформаційні системи»


МАТЕМАТИЧНА ЕКОНОМІКА


Конспект лекцій

для студентів третього курсу спеціальності

«Прикладна інформатика (в економіці)»


Тверь 2009


1. Методи оцінки інвестиційних проектів

В даний час в країнах з розвиненою ринковою економікою при аналізі інвестиційних проектів стали широко використовувати техніку дисконтування, засновану на логіці складних відсотків. Тому в даному розділі наводиться сутність та переваги використання цих методів.


1.1 Метод розрахунку чистої сьогоднішньої цінності

Чистий сьогоднішня цінність розраховується як різниця
дисконтованих до одного моменту часу потоків доходів і витрат
за проектом:




де CF INt - грошовий приплив за період t;

CF OFt - грошовий відтік за період t;

r - ставка дисконтування;

n - життєвий цикл проекту.


У тих випадках, коли інвестиції являють собою разові вкладення в початковий період, формула розрахунку NPV буде виглядати наступним чином:




(2)


де С 0 - капіталовкладення в нульовий період.


Користуватися даним критерієм при прийнятті рішень досить просто. Позитивне значення NPV показує ту величину доходу, яку інвестор отримає понад необхідного рівня. У тому випадку, коли NPV дорівнює нулю, інвестор не тільки повертає свій капітал, але і прирощує його на величину, що задається ставкою дисконтування. Отримане негативне значення NPV свідчить про те, що проект варто відкинути.

Слід зазначити, що показник NPV склопластику в часі. Дана властивість дозволяє підсумовувати чисті сьогоднішні цінності різних проектів, що є дуже важливим при аналізі оптимальності інвестиційного портфеля.


1.2 Метод розрахунку індексу рентабельності інвестиції


Індекс рентабельності являє собою відношення дисконтованих величин прибутку і витрат за проектом. Тобто стосовно, наприклад, до разових вкладень розрахунок здійснюється за формулою:





(3)


У тому випадку, коли значення РІ> 1, проект прибутковий. Якщо РІ <1, то від інвестування слід відмовитися. Значення індексу рентабельності, рівне одиниці, говорить про те, що проект і ні прибутковий, і ні збитковий.

Перевага даного показника від показника NPV полягає в тому, що він відносний. Тому їм легко користуватися, коли необхідно вибрати один проект з ряду альтернативних, що мають приблизно однакові значення NPV, а також при формуванні портфеля інвестицій з максимальним сумарним значенням NPV.

Така задача виникає в тому випадку, коли на вибір є декілька привабливих інвестиційних проектів, але через обмеженість у фінансових ресурсах інвестор не може брати участь у всіх проектах одночасно. Тоді для кожного проекту розраховується PI і проекти ранжуються за спаданням PI. В інвестиційний портфель включаються перші m-проектів, які в сумі можуть бути профінансовані в повному обсязі.


У разі якщо черговий проект піддається дробленню, то він також включається в портфель у тій його частині, яка може бути профінансована.


1.3 Метод розрахунку норми рентабельності інвестиції


Норма рентабельності (internal rate of return) являє собою таке значення процентної ставки, при якому чиста сьогоднішня цінність проекту дорівнює нулю:




де IRR - норма рентабельності (внутрішня норма прибутковості).


Значення IRR показує максимально допустимий відносний рівень витрат, які тим чи іншим чином можуть бути пов'язані з даним проектом. Так наприклад, якщо проект повністю фінансується за рахунок позички, то значення IRR покаже верхню межу банківської ставки відсотка, перевищення якого зробить проект збитковим.

Для визначення IRR використовують або розрахунковий, або розрахунково-графічний способи. У першому випадку, щорічні грошові потоки (з урахуванням необхідних вкладень капіталу) дисконтуються різними пробними ставками норми дисконту з кроком в один відсоток. При цьому буде отримано ряд відповідних чистих сьогоднішніх цінностей, найменша позитивна величина з яких буде вказувати на точну норму прибутковості, яку слід прийняти до розрахунку.

Застосування розрахунково-графічного способу зводиться до того, що на системі координат по вертикальній осі відкладаються норми прибутковості, а по горизонтальній - чисті сьогоднішні цінності. Потім розраховуються два значення NPV, що відповідають двом будь-яким ставкам норми прибутковості. Між цими двома точками проводиться пряма, точка перетину якої з вертикальною віссю і є передбачуваною внутрішньою нормою прибутковості. Однак необхідно відзначити, що отримане значення обов'язково слід перевірити на нуль, і зробити при необхідності коригування.


1.4 Метод визначення дисконтованого строку окупності


Під дисконтованим строком окупності розуміється період часу, протягом якого інвестор повністю повертає свої первісні витрати, забезпечуючи при цьому необхідний рівень прибутковості:




(5)


де Т - дисконтований строк окупності;

PV - сьогоднішня цінність інвестиції.


Даний метод є одним з найпростіших і широко розповсюджених, але, як правило, використовується для отримання додаткової інформації про проект в тих випадках, коли головне, щоб інвестиції окупилися якомога швидше. Крім того, метод зручний і при аналізі проектів з високим ступенем ризику, тому що чим коротше термін окупності, тим менш ризикованим є проект.


2. Особливості застосування методів оцінки інвестиційних проектів


Описані вище методи справедливі по своїй сукупності при аналізі незалежних інвестиційних проектів. Тобто, критерії цих методів тільки тоді не будуть вступати в протиріччя один з одним.

При аналізі конкуруючих проектів виникає інша ситуація, важливість розгляду якої обумовлена ​​прагненням посилити конкуренцію між підприємствами з метою здешевлення проектів за рахунок використання внутрішніх резервів компаній. Крім того, подібна ситуація може виникати при жорстких фінансових обмеженнях.


Розглянемо два проекти, конкуруючі між собою. Розрахуємо чисту сьогоднішню цінність проектів, а також їх внутрішню норму прибутковості за умови, що ставка дисконтування дорівнює 11%.

Таблиця 1

ПРОЕКТ



СF по роках (млн. крб.)

NPV при r = 11%

IRR

0

1

2

3

4

X1

-50

0

0

15

110

33,5

26,7%

X2

-50

40

15

15

20

22,4

35,0%


Як видно з табл.1 NPV проекту X1 складе 33,5 млн. руб., Що явно краще NPV проекту Х2 - 22,4 млн. руб. Однак якщо ми будемо орієнтуватися на внутрішню норму прибутковості, то перевагу слід віддати проекту Х2 з IRR = 35% проти 26,7% у проекту X1. Таким чином, критерії NPV і IRR вступають у протиріччя один з одним, незважаючи на те, що в основі обох методів лежить одна формула.

Виникла проблема легко вирішується, якщо розглянути докладніше суть критерію IRR, при розрахунку якого передбачається можливість реінвестування проміжних доходів проекту, забезпечуючи прибутковість, рівну IRR. Але чи реально забезпечити таку дохідність, якщо прибутковість реінвестування буде менше IRR? Як покаже подальший розгляд прикладу - ні.

Розрахуємо абсолютну величину доходу інвестора в кінці четвертого року, або, іншими словами, майбутню цінність проектів (future value) за умови, що ставка реінвестування складе 11%:


FV (X1) = 110 + 15 * (1 + 0,11) = 126,65 млн. руб.,

FV (X2) = 20 + 15 * (1 + 0,11) + 15 * (1 + 0,11) 2 +40 * (1 + 0,11) 3 = 109,84 млн. руб.


Визначимо прибутковість цієї операції, виходячи з наступної залежності:





(6)


Ряд дослідників, враховуючи недоліки критерію IRR, запропонували замість нього використовувати інший критерій - MIRR (modified IRR). MIRR - це очікувана прибутковість за умови реінвестування всіх проміжних доходів проекту під задану норму прибутковості.

Таблиця 2

ПРОЕКТ

NPV (r = 11%)

IRR

MIRR (i = 11%)

X1

33,5 млн. руб.

26,7%

26,16%

Х2

22,4 млн.руб.

35,0%

21,74%


Як видно з таблиці 2 використання критерію MIRR знімає протиріччя між абсолютними і відносними показниками результату реалізації проекту. Тепер питання знято: перевагу слід віддати проекту X1. Крім того, в майбутньому при порівнянні двох конкуруючих проектів кращим критерієм слід вважати NPV.


Наведені приклади спиралися на протиріччя критеріїв NPV і IRR при аналізі проектів з однаковим обсягом капіталовкладень. Тому, необхідно розглянути також і приклад аналізу конкуруючих проектів з різним обсягом інвестування.


Таблиця 3

ПРОЕКТ



СF по роках (млн. крб.)

NPV (r = 11%)

IRR

MIRR

(R = 11%)

0

1

2

3

4

X3

-5

4,5

2,2

2,5

2,5

4,3

54%

29,82%

X2

-50

40

15

15

20

22,4

35%

21,74%


Аналіз даних, представлених у таблиці 3, показує, що критерії IRR і MIRR вказують на проект ХЗ, тоді як критерій NPV, котрий береться за основний в попередньому прикладі, явно стоїть на стороні проекту Х2. Тобто в даній ситуації виникла проблема невідповідності проектів (проблема масштабу). Тому, остаточне рішення тут може бути прийняте тільки після аналізу можливого вкладення різниці CFo (ХЗ) і CFo (X2). У нашому прикладі ця різниця становить 45 млн. руб.

Припустимо, що у нас є можливість вкласти ці кошти таким чином:

Таблиця 4

ПРОЕКТ



СF по роках (млн. крб.)

NPV (r = 11%)

IRR

MIRR

(R = 11%)

0

1

2

3

4

X4

-45

36

13

13

18

19,3

34%

21,38%


Тепер необхідно з'ясувати, що краще - проекти ХЗ і Х4 або проект Х2?

Таблиця 5

ПРОЕКТ



СF по роках (млн. руб.)

NPV (r = 11%)

IRR

MIRR

(R = 11%)

0

1

2

3

4

X3 + X4

-50

40,5

15,2

15,5

20,5

23,7

36%

22,30%

X2

-50

40

15

15

20

22,3

35%

21,74%

Розглядаючи результати, відображені в таблиці 5, стає цілком зрозуміло, що інвестор відкине проект Х2 на користь реалізації двох проектів ХЗ і Х4. При цьому слід зазначити, що кінцевим вибором залишиться таки проект X1:

Таблиця 6

ПРОЕКТ



СF по роках (млн. руб.)

NPV (r = 11%)

IRR

MIRR

(R = 11%)

0

1

2

3

4

X3 + X4

-50

40,5

15,2

15,5

20,5

23,7

36%

22,30%

X1

-50

0

0

15

110

33,5

26,7%

26,16%


Однак можуть мати місце ситуації, коли крім проектів ХЗ і Х4 більше немає проектів з позитивною NPV. У цьому випадку необхідно орієнтуватися не на норму прибутковості, а на NPV.


Необхідно відзначити, що проблема масштабу може виникати і у випадку зв'язки NPV - PI. При цьому методика рішення буде аналогічною.

Таким чином, можна зробити наступний висновок: бажано аналізувати інвестиційні проекти відразу декількома методами, що дозволить отримати про них додаткову важливу інформацію.


3. Облік інфляції при аналізі проектів


Вплив інфляції можна враховувати, коректуючи на її індекс або майбутні надходження, або ставку дисконтування. При цьому доцільно використовувати таку залежність:

(7)

де r nom - номінальна ставка відсотка;

r real - реальна ставка відсотка;

λ - загальний рівень інфляції.


При невеликих значеннях r і λ формулу (7) можна записати наступним чином:

r nom ≈ r eal + Λ (8)


В якості ставки дисконтування може використовуватися як номінальна, так і реальна ставки відсотка. Вибір залежить від того, як вимірюється грошовий потік проекту. Якщо грошовий потік представлений в реальному вимірі (у постійних цінах), то для дисконтування слід використовувати реальну ставку відсотка.

Проте використання реальних ставок відсотка і розрахунок грошового потоку в постійних цінах не дозволяє врахувати структурну інфляцію. У таких випадках розрахунок необхідно здійснювати в поточних цінах:




(9)


В останньому випадку, щоправда, потрібне вміння прогнозувати зростання цін.




(10)


4. Облік ризику при аналізі одиничного проекту


Аналіз з урахуванням ризику одиничного проекту проводиться тільки в тому випадку, якщо інвестиційний проект є незалежним. При цьому цілком достатньо використовувати два показники: очікувану прибутковість і середньоквадратичне відхилення (СКО) прибутковості, які повністю визначають нормальний розподіл.

Розрахунок очікуваної прибутковості проводиться таким чином:

(11)


де R i - Прибутковість по i-му варіанту розвитку подій;

p i - Ймовірність розвитку подій за i-му варіанту;

n - кількість розглянутих варіантів.


Таким чином зрозуміло, що очікувана прибутковість - це найбільш ймовірна прибутковість по проекту, тоді як СКО, що вимірює дисперсію очікуваної прибутковості, являє собою показник ризику проекту:




(12)


При порівнянні ризиків за активами з різними очікуваними доходностями доцільно користуватися коефіцієнтом варіації (тобто мірою відносної дисперсії):

(13)


Очевидно, що чим вище СКО та CV, тим вище ризик. В якості прикладу розглянемо дані довільної вибірки, представлені в таблиці 7:


Таблиця 7

Проект


R




CV

X1

12,5%

3,12

0,25

Х2

11,0%

3,32

0,30

Х3

12,2%

2,68

0,22


У даному прикладі проект Х2 є найменш прибутковим і одночасно найбільш ризикованим, тому його слід одразу відхилити, а подальший вибір буде залежати від ставлення інвестора до ризику. Якщо воно негативне, буде реалізований проект ХЗ. Якщо інвестор схильний до ризику, перевага буде віддана проекту XI.

Практика показує, що інвестори рівня чиновників муніципалітетів намагаються вибирати мінімальний ризик. Таким чином, в нашому випадку до інвестування буде прийнятий проект ХЗ.


5. Облік ризику при аналізі портфеля проектів


Зазвичай для того, щоб знизити несистематичну частину ризику, застосовується диверсифікація, в основі якої лежить створення ефективного портфеля за допомогою аналізу кореляції його активів. При цьому слід зазначити, що кожне нове інвестування тут повинно розглядатися з урахуванням поточного портфеля.

Розглянемо методику розрахунку ризику портфеля, що складається з трьох проектів, на прикладі даних, представлених в таблиці 7, а також за умови, що кожному проекту дістанеться по третині инвестируемой суми.

Прибутковість портфеля буде визначена наступним чином:

(14)

де R k - Очікувана дохідність k-гo проекту;

x k - частка коштів, інвестованих в k-й проект;

m - кількість проектів в портфелі.


У нашому прикладі:


R портфеля = 12,5 • 1/3 + 11 • 1/3 + 12,2 • 1/3 = 11,9%.


Далі оцінюється взаємозв'язок між прибутковістю проектів за допомогою показника коваріації:




(15)


У нашому прикладі:

Cov 12 = 7,34 і Cov 13 = - 8,12.


Таким чином очевидно, що прибутковості проектів X1 і Х2 змінюються в одному напрямку, а прибутковості проектів X1 і Х3, а також Х2 і Х3 - в протилежних. Однак, так як абсолютну величину коваріації важко інтерпретувати, за допомогою коефіцієнта кореляції розраховують ступінь взаємозалежності між показниками:





(16)


При r = +1 показники змінюються в часі абсолютно однаково, при r = -1 відбувається абсолютно негативна кореляція, нуль вказує на відсутність взаємозв'язку.


У розглянутому прикладі:


r 12 = 0,71, r 13 = -0,96 і r 23 = -0,6.


Очевидно, що з метою зниження ризику найдоцільніше була б комбінація портфеля з проектів X1 і Х3. При цьому, однак, необхідно розрахувати і сам ризик портфеля з урахуванням кореляції між проектами:


(17)


Розрахуємо ризик портфеля (X1, Х3) за умови одно пайового інвестування:

.


Таким чином, ризик нашого портфеля істотно нижче ризиків складових його проектів, і при r <0 диверсифікація завжди буде приводити до подібних результатів. Однак при 0 <r <1 також можна скоротити ризик, причому при певних значеннях r ризик портфеля може виявитися нижче самого ризикованого його активу.

Методика складання портфеля з безлічі проектів така ж, як і при складанні двухактівного портфеля.

З усієї сукупності портфелів, зазначеної областю на рис.1, необхідно вибрати ті портфелі, які знаходяться на лінії АВ - саме вони дають мінімальний ризик при найвищій очікуваної прибутковості. При цьому конкретний вибір серед них залежить від нашого ставлення до ризику. Графічно вибір між ризиком і прибутковістю виражається кривими байдужості, унікальний набір яких існує для кожного індивіда з погляду переваг цієї особи до ризику і прибутковості.




Рис.1 Завдання вибору оптимального портфеля.


Пряма лінія, що йде з точки прибутковості по вільному від ризику активу через точку дотику кривої можливих портфелів АВ, називається лінією ринку капіталу (Capital Market Line - CML) і відображає вибір в системі «ризик-прибутковість». Точка С на мал. 1, таким чином, відображає ризик і дохідність ринкового портфеля. Найбільший рівень корисності досягається інвестором в точці дотику його кривої байдужості до ризику і прибутковості з лінією ринку капіталу. Якщо інвестор воліє визначеність, то ця точка буде розташована ліворуч від ринкового портфеля (зліва від С); інвестор вкладає кошти і у вільні від ризику, і в ризиковані активи, а його портфель, внаслідок цього, має низький ризик і низьку прибутковість. Якщо інвестор більш схильний до ризику, точка торкання буде знаходитися праворуч від ринкового портфеля (праворуч від С); кошти інвестуються в більш ризиковані активи і портфель має більший ризик і більшу прибутковість.

Проблема пошуку оптимального портфеля, що складається з безлічі активів в принципі може бути вирішена процедурою підбору - шукаємо портфель з найвищою очікуваною прибутковістю при заданому нами рівні ризику. Однак на практиці проблему розміщення капіталу доцільно вирішувати за допомогою квадратичного варіанти лінійного програмування.


Визначимо питому вагу i-го активу в портфелі за витратами:




де CF OFt max - максимально допустимий розмір інвестиційної програми на період t.


Розглянемо зведений показник ризику:





Цільова функція (20), мінімізує ризик підсумкового портфеля, де в якості критерію участі в портфелі виступає бінарна змінна X i, одиничне значення якої вказує на входження i-гo проекту в портфель, а нульове - на відмову i-му проекту в інвестуванні, виглядає наступним чином:




при обмеженнях:




де NPV min - розмір мінімально прийнятною чистої сьогоднішньої цінності портфеля;

Т н - початковий період інвестиційної програми;

Т к - заключний період інвестиційної програми;

v k - вектор конкуруючих проектів;

V - безліч векторів конкуруючих проектів;

n l - кількість проектів попереднього портфеля, Т до яких перевищує Т н складових портфеля.


Очевидно, що при розрахунку цільової функції (20) використовується тільки та частина дисперсійно-ковариационной матриці (19), яка розташована на і нижче головної діагоналі, що викликано застосуванням обмежувального умови у вкладеному циклі але стовпцях, при цьому, так як існують дві коваріації для кожної можливої ​​пари проектів, для значень вкладеного циклу введений подвоюється коефіцієнт.

Таким чином, задача оптимізації полягає в тому, щоб визначити, які проекти варто прийняти до інвестування так, щоб величина очікуваного доходу і рівень ризику оптимально відповідали цілям інвестора, які визначені напрямком цільової функції і набором обмежень:


1. Ризик, що вимірюється дисперсією (СКО) портфеля, мінімізується.

2. Дохід від портфеля, рівний адитивного показника очікуваних чистих сьогоднішніх цінностей прийнятих проектів, не повинен бути нижче необхідної суми, яка задається дисконтованою до початкового періоду інвестування величиною.

3. Сумарні обсяги щорічних інвестицій не можуть перевищувати встановлені на даний період часу ліміти наявних (виділених) коштів окремо по кожному році інвестиційної програми.

4. У портфель може бути включено тільки по одному з проектів, що представляють одну і ту ж групу конкуруючих проектів.

5. Складання нового портфеля здійснюється з урахуванням обов'язкового включення до його складу тих проектів попереднього портфеля, період завершення інвестиційної програми за якими перевищує період початку інвестиційної програми нового портфеля.

6. Розглянуті проекти не підлягають дробленню.


Описувана завдання включає ряд обмежень у вигляді нерівностей, в основному встановлюють межі для інвестування в тих чи інших напрямках. Інакше не можна гарантувати, що отримане рішення виявиться на межі ефективності. При цьому ми можемо одержати більш ризикований портфель, однак нам не потрібно буде використовувати всі свої гроші, і (або) ми зможемо отримати більший дохід.


Розрахунок і видача результуючих характеристик портфеля:


- Безліч відібраних проектів:




- Очікуваний чистий сьогоднішня цінність портфеля:




- Очікувана дохідність портфеля:




- Ризик портфеля проектів:




- Економія фінансових ресурсів:





Існують різні визначення поняття «ризик», тому, узагальнюючи вищевикладене, під ризиком будемо розуміти ситуацію, коли є кілька можливих результатів тих чи інших дій, а також існують необхідні дані минулих періодів, які дають можливість розрахувати деякі залежності для передбачення можливих майбутніх результатів.

Широко застосована для складання портфелів модель САРМ (модель ціноутворення на капітальні активи), розроблена У. Шарпом, виходить з того, що важливо враховувати тільки систематичний ризик кожного окремого активу. Однак у роботах Г. Марковіца доведено важливість урахування загального ризику в цілому. Тому, попередні міркування були засновані саме на даній передумові.

Систематичний ризик викликається такими факторами, як інфляція. економічна криза, інші загальноринкові фактори.

Наявність несистематичного ризику пов'язано з випадковими подіями, що впливають на конкретні активи або компанії.

Бібліографічний список


  1. Бард В.С. Фінансово-інвестиційний комплекс: теорія і практика в умовах реформування російської економіки. - М: Фінанси і статистика, 1998. - 304с.

  2. Богатінов Ю.В., Швандар В.А. Інвестиційний аналіз: Учеб.пособие для студ.вузов, обуч.по економ.спец.; Богатінов Ю.В., Швандар В.А.. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 286с.

  3. Богатінов Ю.В., Швандар В.А. Оцінка ефективності бізнесу та інвестицій: Учеб.пособие для студ.вузов, обуч.по економ.спец .. - М: Фінанси, ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 256с.

  4. Бочаров В.В. Інвестиційний менеджмент: Учеб.пособие. - СПб.і ін: Пітер, 2000. - 152с. - Короткий курс.

  5. Бродський М.Н., Бродський Г.М. Право і економіка: інвестиційне консультування; С.-Петерб.гос.ун-т економіки і финансов.Междунар.акад.нац.безопасности об'едінен.Европи. - СПб., 1999. - 488с.

  6. Вахрін П.І. Організація і фінансування інвестицій: (Сб.практ.задач і конкрет.сітуацій): Учеб.пособие. - М.: інформ.-внедренч.центр "Маркетинг", 1999. - 149с.

  7. Ігошин Н.В. Інвестіціі.Організація управління та фінансування: Учеб.для студ.вузов, обуч.по економ.спец .. - М: Фінанси, ЮНИТИ, 1999. - 414с.

  8. Ковальов В.В. Фінансовий аналіз.Управленіе капіталом.Вибор інвестіцій.Аналіз звітності. - 2-е ізд.перераб.і доп .. - М.: Фінанси і статистика, 1997. - 511с.

  9. Колеман В.А. Математична економіка. - М.: Фінанси і статистика, 2003. - 206с.

  10. Крушвіца Л. Фінансування і инвестиции.Неоклассические основи теорії фінансів: Учеб.для вузів: Пер.с ньому .. - СПб. та ін: Пітер, 2000. - 381с. - Базовий курс.

  11. Лімітовскій М.А. Основи оцінки інвестиційних та фінансових рішень. - 3-е изд., Дод. перероб .. - М.: декан, 1998. - 231с.

  12. Оцінка ефективності інвестицій підприємства: Метод.рекомендаціі для написання орг.-екон. частини дипломного проекту студентами техн. спец.; Твер.гос.техн.ун-т.Каф.економікі і упр. пр-вом; Сост.В.А Нікольська, А.Г.Бокічева. - Твер, 2000. - 12с.

  13. Салманов О.Н. Математична економіка із застосуванням Mathcad і Excel. БХВ-Петербург, 2003. - 464с.

  14. Сергєєв І.В., Веретенникова І.І. Організація і фінансування інвестицій: Учеб.пособие для студентів вузів, що навчаються по екон.спец.і напрямками; Сергєєв І.В., Веретенникова І.І.. - М.: Фінанси і статистика, 2000. - 271с.

  15. Холт Р.Н., Барнес С.Б. Планування інвестицій: [Учеб.пособіе]: Пер.с англ .. - М.: Акад.нар.хоз-ва: Справа, 1994. - 118с.

  16. Четиркина Е.М. Фінансовий аналіз виробничих інвестицій; Акад.нар.хоз-ва при Уряді РФ. - М.: Справа, 1998. - 255с.

  17. Шарп У.Ф., Александер Г.Д. Інвестиції: Пер.с англ.; Підготовлено за фін.содействіі Нац.фонда подгот.фін.і управлен.кадров в рамках його програми "Банк.дело". - М.: ИНФРА-М, 1997. - 1024с.



Програмно-інформаційне забезпечення


  1. Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.

  2. Монахов А.В. Математичні методи аналізу економіки. / / Www. My - shop. Ru.

  3. Колеман В.А. Математична економіка.Учебнік. / / Www. Hugahuga. Ru.
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації