Лекції

Лекціі.doc (5 стор.)
Оригінал


  1   2   3   4   5
ЗМІСТ

Введення

  1. Кількісні характеристики безвідмовності.

  2. Структурно-логічний аналіз технічних систем.

  3. Розрахунки структурної надійності систем.

    1. Системи з послідовним з'єднанням елементів.

    2. Системи з паралельним з'єднанням елементів.

    3. Системи типу "m з n".

    4. Мостіковие системи.

    5. Комбіновані системи.

  4. Підвищення надійності технічних систем.

    1. Методи підвищення надійності.

    2. Розрахунок надійності систем з резервуванням.

  5. Методичні рекомендації.

  6. Вихідні дані до роботи.

  7. Приклад розрахунку надійності.

Додаток.

Література.


ВСТУП


Надійністю називають властивість об'єкта зберігати в часі у встановлених межах значення всіх параметрів, що характеризують здатність виконувати необхідні функції в заданих режимах і умовах застосування, технічного обслуговування, ремонтів, зберігання і транспортування. Розширення умов експлуатації, підвищення відповідальності виконуваних радіоелектронними засобами (РЕЗ) функцій, їх ускладнення приводить до підвищення вимог до надійності виробів.

Надійність є складною властивістю, і формується такими складовими, як безвідмовність, довговічність, відновлюваність і сохраняемость. Основним тут є властивість безвідмовності - здатність виробу безупинно зберігати працездатний стан протягом часу. Тому найбільш важливим в забезпеченні надійності РЕЗ є підвищення їх безвідмовності.

Особливістю проблеми надійності є її зв'язок з усіма етапами "життєвого циклу" РЕЗ від зародження ідеї створення до списання: при розрахунку і проектуванні виробу його надійність закладається в проект при виготовленні надійність забезпечується, при експлуатації - реалізується. Тому проблема надійності - комплексна проблема і вирішувати її необхідно на всіх етапах і різними засобами. На етапі проектування виробу визначається його структура, проводиться вибір або розробка елементної бази, тому тут є найбільші можливості забезпечення необхідного рівня надійності РЕЗ. Основним методом вирішення цього завдання є розрахунки надійності (в першу чергу - безвідмовності), залежно від структури об'єкту і характеристик його складових частин, з подальшою необхідної корекцією проекту. Деякі способи розрахунку структурної надійності розглядаються в даному посібнику.


  1. КІЛЬКІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ безвідмовно


Безвідмовність (і інші складові властивості надійності) РЕЗ проявляється через випадкові величини, напрацювання до чергової відмови і кількість відмов за заданий час. кількісними характеристиками властивості тут виступають імовірнісні змінні.

Напрацювання є тривалість чи обсяг роботи об'єкта. для РЕЗ природно числення напрацювання в одиницях часу, тоді як для інших технічних засобів можуть бути зручніше інші засоби вимірювання (наприклад, напрацювання автомобіля - в кілометрах пробігу). Для невідновлюваних і відновлюваних виробів поняття напрацювання розрізняється, в першому випадку мається на увазі наробіток до першої відмови (він же є і останнім відмовою), у другому - між двома сусідніми в часі відмовами (після кожного відмови проводиться відновлення працездатного стану). Математичне сподівання випадкової напрацювання Т

(1.1)

є характеристикою безвідмовності і називається середньої напрацюванням на відмову (між відмовами). В (1.1) через t позначено поточне значення напрацювання, а f (t) щільність ймовірності її розподілу.

Ймовірність безвідмовної роботи - імовірність того, що в межах заданої напрацювання t відмова об'єкта не виникає:

. (1.2)


Імовірність протилежної події називається ймовірністю відмови і до виконуваних ймовірність безвідмовної роботи до одиниці:

q (t) = Вер (T £ t) = 1 - p (t) = F (t). (1.3)

В (1.2) і (1.3) F (t) є інтегральна функція розподіл випадкової напрацювання t. Щільність ймовірності f (t) також є показником надійності, званим частотою відмов:

. (1.4)


З (1.4) очевидно, що вона характеризує швидкість зменшення ймовірності безвідмовної роботи в часі.

Інтенсивністю відмов називають умовну щільність ймовірності виникнення відмови вироби за умови, що до моменту t відмова не виник:

. (1.5)

Функції f (t) і l (t) вимірюються в ч -1.

Інтегруючи (1.5), легко отримати:

. (1.6)

Це вираз, зване основним законом надійності, дозволяє встановити тимчасове зміна ймовірності безвідмовної роботи при будь-якому характері зміни інтенсивності відмов у часі. В окремому випадку сталості інтенсивності відмов l (t) = l = const (1.6) переходить у відоме в теорії ймовірностей експоненційний розподіл:

(1.7)

Потік відмов при l (t) = const називається найпростішим і саме він реалізується для більшості РЕЗ протягом періоду нормальної експлуатації від закінчення припрацювання до початку старіння та зносу.

Підставивши вираз щільності ймовірності f (t) експоненціального розподілу (1.7) в (1.1), отримаємо:

T 0 = 1 / l, (1.8)

тобто при найпростішому потоці відмов середнє напрацювання Т0 обратна інтенсивності відмов l. За допомогою (1.7) можна показати, що за час середнього напрацювання, t = Т 0, імовірність безвідмовної роботи виробу становить 1 / е. Часто використовують характеристику, звану g - процентної напрацюванням - час, протягом якого відмова не настане з імовірністю g (%):

. (1.9)

Вибір параметра для кількісної оцінки надійності визначається призначенням, режимами роботи виробу, зручністю застосування в розрахунках на стадії проектування.


2. Структурно - логічний аналіз ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ


Кінцевою метою розрахунку надійності технічних пристроїв є оптимізація конструктивних рішень і параметрів, режимів експлуатації, організація технічного обслуговування і ремонтів. Тому вже на ранніх стадіях проектування важливо оцінити надійність об'єкта, виявити найбільш ненадійні вузли і деталі, визначити найбільш ефективні заходи підвищення показників надійності. Вирішення цих завдань можливе після попереднього структурно - логічного аналізу системи.

Більшість технічних об'єктів, в тому числі РЕЗ, є складними система мі, що складаються з окремих вузлів, деталей, агрегатів, пристроїв контролю, управління і т.д.. Технічна система (ТС) - сукупність технічних пристроїв (елементів), призначених для виконання певної функції або функцій. Відповідно, елемент - складова частина системи.

Розчленування ТЗ на елементи досить ус і залежить від постановки задачі розрахунку надійності. Наприклад при аналізі працездатності технологічної лінії її елементами можуть вважатися окремі установки і верстати, транспортні та завантажувальні пристрої і т.д.. У свою чергу верстати та пристрої також можуть вважатися технічними системами і при оцінці їх надійності повинні бути розділені на елементи - вузли, блоки, які, в свою чергу - на деталі і т.д..

При визначенні структури ТС в першу чергу необхідно оцінити вплив кожного елемента і його працездатності на працездатність системи в цілому. З цієї точки зору доцільно розділити всі елементи на чотири групи:

1. Елементи, відмова яких практично не впливає на працездатність системи (наприклад, деформація кожуха, зміна забарвлення поверхні і т.п.).

2. Елементи, працездатність яких за час експлуатації практично не з змінюється і ймовірність безвідмовної роботи близька до одиниці (корпусні деталі, мало-навантажені елементи з великим запасом міцності).

3. Елементи, ремонт або регулювання яких можлива при роботі виробу або під час планового технічного обслуговування (наладка або заміна технологічного інструменту обладнання, настройка частоти селективних ланцюгів РЕЗ і т.д.).

4. Елементи, відмова яких сам по собі або в поєднанні з відмовами інших елементів призводить до відмови системи.

Очевидно, при аналізі надійності ТС має сенс включати в розгляд толь до елементи останньої групи.

Для розрахунків параметрів надійності зручно використовувати структурно - логічні схеми надійності ТС, які графічно відображають взаємозв'язок елементів та їх вплив на працездатність системи в цілому. Структурно - логічна схема являє собою сукупність раніше виділених елементів, з'єднаних один з одним послідовно або паралельно. Критерієм для визначення виду з'єднання елементів (послідовного або паралельного) при побудов схеми є вплив їх відмови на працездатність ТЗ.

Послідовним (з точки зору надійності) вважається з'єднання, при якому відмова будь-якого елемента приводить до відмови всієї системи (рис. 2 1).

Паралельним (з точки зору надійності) вважається з'єднання, при якому відмова будь-якого елемента не призводить до відмови системи, поки не відмовлять всі з'єднані елементи (рис. 2.2).

1

2

n

n

2

1



Рис. 2.1 Послідовне Рис. 2.2. Паралельне з'єднання

з'єднання елементів елементів


Певна аналогія тут простежується c ланцюгом, складеної з провідних елементів (справний елемент пропускає струм, що відмовив, не пропускає): працездатному станом ТЗ відповідає можливість протікання струму від входу до виходу ланцюга.

Прикладом послідовного з'єднання елементів структурно - логічної схеми може бути технологічна лінія, в якій відбувається переробка сировини в готовий продукт, або РЕЗ, в якому послідовно здійснюється перетворення вхідного сигналу. Якщо ж на деяких ділянках лінії, або шляху сигналу, передбачена одночасна обробка на кількох одиницях устаткування, то такі елементи (одиниці обладнання) можуть вважатися з'єднаними паралельно.

Однак не завжди структурна схема надійності аналогічна конструктивній або електричній схемі розташування елементів. Наприклад, підшипники на валу редуктора працюють конструктивно паралельно один з одним, однак вихід з ладу будь-якого з них призводить до відмови системи. Аналогічно дію індуктивності і ємності паралельного коливального контуру в селективних каскадах РЕЗ. Зазначені елементи з точки зору надійності утворюють послідовне з'єднання.

Крім того, на структуру схеми надійності може впливати й вид виникаючих відмов. Наприклад, в електричних системах для підвищення надійності в ряді випадків застосовують паралельне або послідовне з'єднання комутуючих елементів (рис. 2.3). Відмова таких виробів може відбуватися з двох причин: обриву (тобто неможливості замикання ланцюга) і замикання (тобто неможливості розриву з'єднання). У разі відмови типу схема надійності відповідає електричній схемі системи (при "обриві" будь-якого комутатора при послідовному їх з'єднанні виникає відмова, при паралельному - всі функції управління буде виконувати справний комутатор). У разі відмови типу "замикання" схема надійності протилежна електричної (в паралельному включенні втратиться можливість відключення струму, а в послідовному загальної відмови не відбувається).


Е
Структурна схема надійності при відмові типу
ЛЕКТРІЧЕСКАЯ СХЕМА



1

1

1
Обрив Замикання

1

2


2222

2 Січень


1


1

2


2

2


Рис. 2.3. Електричні і структурні схеми з'єднання комутаційних елементів при різних видах відмов.


В цілому аналіз структурної надійності ТЗ, як правило, включає наступні операції:

1.Аналізіруются пристрої та виконувані системою і її складовими частинами функції, а також взаємозв'язок складових частин.

2.Форміруется зміст поняття «безвідмовної роботи» для даної конкретної системи.

3.Определяются можливі відмови складових частин і системи, їх причини та можливі наслідки.

4.Оценівается вплив відмов складових частин системи на її працездатність.

5. Система поділяється на елементи, показники надійності яких відомі.

6. Складається структурно-логічна схема надійності технічної системи, яка є моделлю її безвідмовної роботи.

7. Складаються розрахункові залежності для визначення показників надійності ТС з використанням даних по надійності її елементів та з урахуванням структурної схеми.

Залежно від поставленого завдання на підставі результатів розрахунку характеристик надійності ТЗ робляться висновки і приймаються рішення про необхідність зміни або доопрацювання елементної бази, резервування окремих елементів або вузлів, про встановлення певного режиму профілактичного обслуговування, про номенклатуру та кількості запасних елементів для ремонту і т.д .


3. РОЗРАХУНКИ СТРУКТУРНОЇ НАДІЙНОСТІ СИСТЕМ


Розрахунки показників безвідмовності ТЗ зазвичай проводяться у реченні, що як вся система, так і будь-який її елемент можуть знаходитися тільки в одному з двох можливих станів - працездатному і непрацездатному та відмови елементів один від одного. Стан системи (працездатне або непрацездатний) визначається станом елементів і їх поєднанням. Тому теоретично можливо розрахунок безвідмовності будь ТЗ звести до перебору всіх можливих комбінацій станів елементів, визначенням вірогідності кожного з них і складанню ймовірностей працездатних станів системи.

Такий метод (метод прямого перебору - див. п. 3.3) практично універсальний і може використовуватися при розрахунку будь-яких ТЗ. Однак при великій кількості елементів системи n такий шлях стає нереальним через великий обсяг обчислень (напри-мер, при n = 10 число можливих станів системи становить, 2 n = 1024, при n = 20 пре-вишает 10 6, при n = 30 - більше 10 9). Тому на пракгіке використовують більш ефективні й економічні методи розрахунку, не пов'язані з великим обсягом обчислень. Можливість застосування таких методів пов'язана зі структурою ТС.


3.1. Системи з послідовним з'єднанням елементів


Системою з послідовним з'єднанням елементів називається система, в якій відмова будь-якого елемента приводить до відмови всієї системи (див. п. 2, рис 2.1). Таке зі єднання елементів в техніці зустрічається найбільш часто, тому його називають основним з'єднанням.

В системі з послідовним з'єднанням для безвідмовної роботи протягом деякого напрацювання необхідно і достатньо, щоб кожен з її n елементів працював безвідмовно протягом цієї напрацювання. Вважаючи відмови елементів незалежними, ймовірність одночасної безвідмовної роботи n елементів визначається по теоремі множення ймовірностей: ймовірність спільного появи незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(3.1)

(Далі аргумент t в дужках, що показує залежність показників надійності від часу, опускаємо для скорочення записів формул). Відповідно, ймовірність відмови такої ТС

(3.2)

Якщо система складається з равнонадежних елементів i = р), то

, (3.3)

З формул (3.1) - (3.3) очевидно, що навіть при високій надійності елементів на-дежності системи при послідовному з'єднанні виявляється тим більш низькою, ніж більше число елементів (наприклад, при р = 0.95 і n = 10 маємо Р = 0.60, при n = 15 Р = 0.46, а при n = 20 P = 0.36). Крім того, оскільки всі співмножники в правій частині виразу (3.1) не перевищують одиниці, ймовірність безвідмовної роботи ТЗ при послідовному з'єднанні не може бути вище ймовірності безвідмовної роботи самого ненадійного з її елементів (принцип "гірше гіршого") і з малонадійних елементів можна створити високонадійної ТЗ з послідовним з'єднанням.


Якщо всі елементи системи працюють у періоді нормальної експлуатації і має місце найпростіший потік відмов (див. п. 1), напрацювання елементів і системи підкоряються експоненціальним розподілом (1.7) і на підставі (3.1) можна записати

(3.4)

де

(3.5)

є інтенсивність відмов системи. Таким чином, інтенсивність відмов системи при послідовному з'єднанні елементів і найпростішому потоці відмов дорівнює сумі інтенсивностей відмов елементів. За допомогою виразів (1.8) і (1.9) можуть бути визначені середня і g - процентна напрацювання.

З (3.4) - (3.5) випливає, що для системи з n равнонадежних елементів (l i = l)

L = n l, , (3.6)

тобто інтенсивність відмов в п разів більше, а середня напрацювання в n разів менше, ніж у окремого елемента.


3.2. Системи з паралельним з'єднанням елементів


Системою з паралельним з'єднанням елементів називається система, відмова якої відбувається тільки в разі відмови всіх її елементів (див. п. 2, рис. 2.2). Такі схеми надійності характерні для ТЗ, в яких елементи дублюються або резервуються, тобто паралельне з'єднання використовується як метод підвищення надійності (див. п. 4.2). Однак такі системи зустрічаються і самостійно (наприклад, системи двигунів чотиримоторного літака або паралельне включення діодів в потужних випрямлячах).

Для відмови системи з паралельним з'єднанням елементів протягом напрацювання необхідно і достатньо, щоб всі її елементи відмовили протягом цієї напрацювання. Так що відмова системи полягає в спільному відмову всіх елементів, ймовірність чого (при допущенні незалежності відмов) може бути знайдена по теоремі множення ймовірностей як добуток ймовірностей відмови елементів:


(3.7)


Відповідно, ймовірність безвідмовної роботи


(3.8)


Для систем з равнонадежних елементів i = р)

Q = q n, (3.9)


тобто надійність системи з паралельним з'єднанням підвищується при збільшенні числа елементів (наприклад, при р = О.9 і n = 2 Р = 0.99, а при n = 3 Р = 0.999).

Оскільки q i <1, твір у правій частині (3.7) завжди менше будь-якого з зі множників, т ймовірність відмови системи не може бути вище ймовірності самого на-надійного її елемента ("краще кращого") і навіть із порівняно ненадійних елементів можлива побудова цілком надійної системи.

При експоненціальному розподілі напрацювання (1.7) вираз (3.9) приймає вид


Р = 1 - [1 ехр (- lt)] n, (3.10)

звідки за допомогою (1.1) після інтегрування і перетворень середнє напрацювання систе-ми визначається

, (3.11)

де Т 0 i = 1 / l i - Середнє напрацювання елемента. При великих значеннях n справедлива при-наближенні формула

. (3.12)

Таким чином, середнє напрацювання системи з паралельним з'єднанням більше середнього напрацювання її елементів (наприклад, при n = 2 Т 0 = 1.5 T oi, при n = З T 0 = 1.83 T 0 i).


3.3. Системи типу "m з n"


Систему типу "m з n" можна розглядати як варіант системи з паралельним з'єднанням елементів, відмова якої відбудеться, якщо з n елементів, з'єднаних паралельно, працездатними виявляться менш m елементів (m <n).


1



2





3


4


5

Рис.3.1 Система "2 з 5"


На рис. 3.1 представлена ​​система "2 з 5", яка працездатна, якщо з п'яти її елементів працюють будь-які два, три, чотири або всі п'ять (на схемі пунктиром обведені функціонально необхідні два елементи, причому виділення елементів 1 і 2 вироблено умовно, насправді всі п'ять елементів рівнозначні). Системи типу "m з n" найбільш часто зустрічаються в електричних і зв'язкових системах (при цьому елементами виступають сполучні канали), технологічних ліній, а також при структурному резервування (див. п. 4.1, 4.2).

Для розрахунку надійності систем типу "m з n" при порівняно невеликій кількості елементів можна скористатися методом прямого перебору. Він полягає у визначенні працездатності кожного з можливих станів системи, які визначаються різними поєднаннями працездатних і непрацездатних станів елементів.

Всі стану системи "2 з 5" занесені в табл. 3.1. (В таблиці працездатні стану елементів і системи відмічені знаком "+" непрацездатні - знаком "-"). Для даної системи працездатність визначається лише кількістю працездатних елементів. По теоремі множення ймовірностей ймовірність будь-якого стану визначається як добуток імовірностей станів, в яких перебувають елементи. Наприклад, у рядку 9 описано стан системи, в якій відмовили елементи 2 і 5, а інші працездатні. При цьому умова "2 з 5" виконується, так що система в цілому працездатна. Імовірність такого стану




(Передбачається, що всі елементи равнонадежни). З урахуванням усіх можливих -

станів ймовірність безвідмовної роботи системи може бути знайдена по теоремі додавання ймовірностей всіх працездатних поєднань. Оскільки в табл. 3.1 кількість непрацездатних станів менше, ніж працездатних (відповідно 6 з 26), простіше обчислити ймовірність відмови системи. Для цього підсумовуються ймовірності непрацездатних станів (де не виконується умова "2 з 5")

(3.13)

Тоді ймовірність безвідмовної роботи системи


(3.14)

Розрахунок надійності системи "m з n" може проводиться комбінаторним мето-дом, в основі якого лежить формула біноміального розподілу. Біноміальному розподілу підпорядковується дискретна випадкова величина k - число появ деякої події в серії з n дослідів, якщо в окремому досліді ймовірність появи події становить р. При цьому ймовірність появи події рівно k разів визначається


(3.15)



де - Біноміальний коефіцієнт, званий "числом сполучень по k з n" (тобто скількома різними способами можна реалізувати ситуацію "k з n");


(3.16)

Значення біноміальних коефіцієнтів наведені в додатку.

Оскільки для відмови системи "m з n" достатньо, щоб кількість справних елементів було менше m, ймовірність відмови може бути знайдена по теоремі додавання ймовірностей для k = О, 1, ... (Т-1):


(3.17)

Аналогічним чином можна знайти ймовірність безвідмовної роботи як суму
(3.15) для k = m, m +1, ..., n:


(3.18)


Таблиця 3.1

Taбліца станів системи "2 з 5



N

стану

Стан елементів

Стан

системи

Ймовірність

стану системи

1

2

3

4

5

1

+

+

+

+

+

+



2

+

+

+

+

-

+



3

+

+

+

-

+

+

4

+

+

-

+

+

+

5

+

-

+

+

+

+

6

-

+

+

+

+

+

7

+

+

+

-

-

+



8

+

+

-

+

-

+

9

+

-

+

+

-

+

10

-

+

+

+

-

+

11

+

+

-

-

+

+

12

+

-

+

-

+

+

13

-

+

+

-

+

+

14

+

-

-

+

+

+

15

-

+

-

+

+

+

16

-

-

+

+

+

+

17

+

+

-

-

-

+



18

+

-

+

-

-

+

19

-

+

+

-

-

+

20

+

-

-

-

+

+

21

-

+

-

-

+

+

22

-

-

-

+

+

+

23

+

-

-

+

-

+

24

-

+

-

+

-

+

25

-

-

+

-

+

+

26

-

-

+

+

-

+

27

+

-

-

-

-

-



28

-

+

-

-

-

-

29

-

-

+

-

-

-

30

-

-

-

+

-

-

31

-

-

-

-

+

-

32

-

-

-

-

-

-


Таблиця станів системи "2 з 5"


Очевидно, що Q + P = 1, тому в розрахунках слід вибирати ту з формул (3.17), (3.18), яка в даному конкретному випадку містить меншу кількість доданків.

Для системи "2 з 5" (рис. 3.1) за формулою (3.18) отримаємо:


(3.19)

Імовірність відмови тієї ж системи по (3.17):


(3.20)


що, як видно дає той же результат для ймовірності безвідмовної роботи.

У табл. 3.2 наведені формули для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи систем типу "m з n" при m <= n <= 5. Очевидно, при m = 1 система перетворюється в обичнуюсістему з паралельним з'єднанням елементів, а при m = n - з послідовним з'єднанням.


Таблиця 3.2



m

Загальне число елементів, n

1

2

3

4

5

1

p









2

-

p 2







3

-

-

p 3





4

-

-

-

P 4



5

-

-

-

-

p 5



3.4. Мостіковие схеми


Мостикового структура (рис. 3.2, а, б) не зводиться до паралельного або послідовного типу з'єднання елементів, а являє собою паралельне з'єднання послідовних ланцюжків елементів з діагональними елементами, включеними між вузлами різних паралельних гілок (елемент 3 на рис. 3.2, а елементи 3 і 6 на рис. 3.2, б). Працездатність такої системи визначається не тільки кількістю відмовили елементів, але і їх положення в структурній схемі. Наприклад, працездатність ТЗ, схема якої наведена на рис. 3.2, а, буде втрачена при одночасному відмову елементів 1и 2, або 4 та 5, або 2, 3 і 4 і т.д.. У той же час відмова елементів 1 і 5, або 2 і 4, або 1, 3 і 4, або 2, 3 і 5 до відмови системи не приводить.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1



а) б)


Рис. 3.2. Мостіковие системи


Таблиця 3.3

Таблиця станів мостиковой системи





сост

Стан елементів

Перебуваючи-гом системи

Ймовірність стану


1

2

3

4

5

в загальному випадку

при равнонадежних елементах

1

+

+

+

+

+

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5



2

+

+

+

+

-

+

p 1 p 2 p 3 p 4 q 5



3

+

+

+

-

+

+

p 1 p 2 p 3 q 4 p 5

4

+

+

-

+

+

+

p 1 p 2 q 3 p 4 p 5

5

+

-

+

+

+

+

p 1 q 2 p 3 p 4 p 5

6

-

+

+

+

+

+

q 1 p 2 p 3 p 4 p 5









































































































































































































































































































































7

+

+

+

-

-

-

p 1 p 2 p 3 q 4 q 5



8

+

+

-

+

-

+

p 1 p 2 q 3 p 4 q 5

9

+

-

+

+

-

+

p 1 q 2 p 3 p 4 q 5

10

-

+

+

+

-

+

q 1 p 2 p 3 p 4 q 5

11

+

+

-

-

+

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

12

+

-

+

-

+

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

13

-

+

+

-

+

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

14

+

-

-

+

+

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

15

-

+

-

+

+

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

16

-

-

+

+

+

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

17

+

+

-

-

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5



18

+

-

+

-

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

19

-

+

+

-

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

20

+

-

-

-

+

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

21

-

+

-

-

+

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

22

-

-

-

+

+

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

23

+

-

-

+

-

+

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

24

-

+

-

+

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

25

-

-

+

-

+

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

26

-

-

+

+

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

27

+

-

-

-

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5



28

-

+

-

-

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

29

-

-

+

-

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

30

-

-

-

+

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

31

-

-

-

-

+

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

32

-

-

-

-

-

-

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5





Для розрахунку надійності місткових систем можна скористатися методом прямого перебору, як це було зроблено для систем "m з n" (п. 3.3), але при аналізі працездатності кожного стану системи необхідно враховувати не тільки число відмовили елементів, але і їх положення в схемі ( табл. 3.3). Ймовірність безвідмовної роботи системи визначається як сума ймовірностей всіх працездатних станів:

(3.21)


У разі равнонадежних елементів


(3.22)


Метод прямого перебору ефективний тільки при малій кількості елементів n, про що йшлося на початку розд. 3, оскільки число станів системи складає 2 n. Наприклад, для схеми на рис. 3.2, б їх кількість становитиме вже 256. Деяке спрощення досягається, якщо в таблицю станів включати тільки поєднання, що відповідають працездатному (або тільки непрацездатності) станом системи в цілому.

Для аналізу надійності ТЗ, структурні схеми яких не зводяться до паралельного або послідовного типу, можна скористатися також методом логічних схем з застосуванням алгебри логіки (булевої алгебри). Застосування цього методу зводиться до складання для ТЗ формули алгебри логіки, яка визначає умова працездатності системи. При цьому для кожного елемента і системи в цілому розглядаються два протилежних події - відмова і збереження працездатності.

Для складання логічної схеми можна скористатися двома методами - мінімальних шляхів і мінімальних перерізів.

Розглянемо метод мінімальних шляхів для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи на прикладі мостиковой схеми (рис. 3.2, а).

Мінімальним шляхом називається послідовний набір працездатних елементів системи, який забезпечує її працездатність, а відмова будь-якого з них призводить до її відмови.

Мінімальних шляхів у системі може бути один або декілька. Очевидно, система з послідовним з'єднанням елементів (рис. 2.1) має тільки один мінімальний шлях, що включає всі елементи. В системі з паралельним з'єднанням (рис. 2.2) число мінімальних шляхів збігається з числом елементів і кожен шлях включає один з них.

Для мостиковой системи з п'яти елементів (рис. 3.2, а) мінімальних шляхів чотири: (елементи 1 і 4), (2 і 5), (1, 3 і 5), (2, 3 і 5). Логічна схема такої системи (рис. 3.3) складається таким чином, щоб всі елементи кожного мінімального шляху були сполучені один з одним послідовно, а всі мінімальні шляхи паралельно.























Рис. З.З Логічна схема Рис. 3.4. Логічна схема

мостиковой системи по мостиковой системи по

методу мінімальних шляхів. методу мінімальних перерізів.


Потім для логічної схеми складається функція алгебри логіки А за загальними правилами розрахунку ймовірності безвідмовної роботи, але замість символів ймовірностей безвідмовної роботи елементів p i та системи Р використовуються символи події (збереження працездатності елемента аi і системи А). Так, "відмова" логічної схеми рис. 3.3 складається в одночасному відмову всіх чотирьох паралельних гілок, а "безвідмовна робота" кожної гілки - в одночасній безвідмовної роботи її елементів. Послідовне з'єднання елементів логічної схеми відповідає логічному множенню ("І"), паралельне - логічного складанню ("АБО"). Отже, схема рис. 3.3 відповідає твердженням: система працездатна, якщо працездатні елементи 1 і 4, або 2 і 5, або 1,3 і 5, або 2,3 і 4 Функція алгебри логіки запишеться:


(3.23)


У виразі (3.23) змінні а розглядаються як булеві, ті. можуть прийматися тільки два значення: О або 1. Тоді при зведенні в будь-яку ступінь k будь-яка змінна a зберігає своє значення: . На основі цієї властивості функція алгебри логіки (3.23) може бути перетворена до виду


(3.24)


Замінивши у виразі (3.24) символи подій a i їх ймовірностями p i, одержимо рівняння для визначення ймовірності безвідмовної роботи системи


(3.25)


Для системи равнонадежних елементів (p i = p) вираз (3.25) легко перетворюється в формулу (3.22).

Метод мінімальних шляхів дає точне значення тільки для порівняно простих систем з невеликим числом елементів. Для більш складних систем результат розрахунку є нижньою межею ймовірності безвідмовної роботи.

Для розрахунку верхньої межі ймовірності безвідмовної роботи системи служить метод мінімальних перерізів.

Мінімальним перетином називається набір непрацездатних елементів, відмова яких призводить до відмови системи, а відновлення працездатності будь-якого з них - до відновлення працездатності системи. Як і мінімальних шляхів, мінімальних перерізів може бути кілька. Очевидно, система з паралельним з'єднанням елементів має тільки одне мінімальний перетин, що включає всі її елементи (відновлення будь-якого відновить працездатність системи). В системі з послідовним зі єднанням елементів число мінімальних шляхів збігається з числом елементів, і кожне перетин включає один з них.

У мостиковой системі (рис. 3.2, а) мінімальних перерізів чотири (елементи 1 і 2), (4 і 5), (1, 3 і 5), (2, 3 і 4). Логічна схема системи фіс.3.4) складається таким чином, щоб всі елементи кожного мінімального перерізу були сполучені один з одним паралельно, а всі мінімальні перерізи - послідовно. Аналогічно методу мінімальних шляхів, складається функція алгебри логіки. "Безвідмовна робота" логічної системи рис. 3.4 полягає в "безвідмовної роботи" всіх послідовних ділянок, а кожного з них - в одночасному "відмову" всіх паралельно включених елементів. Як видно, оскільки схема методу мінімальних перерізів формулює умови відмови системи, в ній послідовне з'єднання відповідає логічному «АБО», а паралельне - логічного «І». Схема рис. 3.4 відповідає формулюванню: система відмовить, якщо відмовлять елементи 1 і 2, або 4 та 5, або 1, 3 і 5, або 2, 3 і 4. Функція алгебри логіки запишеться


(3.26)


Після перетворень з використанням властивостей бульових змінних (3.26) набуває форму (3.24), після заміни подій їх ймовірностями переходить у вираз (3.25).


Таким чином, для мостиковой системи з п'яти елементів верхня і нижня межі ймовірності безвідмовної роботи, отримані методами мінімальних перерізів і мінімальних шляхів, збіглися з точними значеннями (3.22), отриманими методом прямого перебору. Для складних систем це може не відбутися, тому методи мінімальних шляхів і мінімальних перерізів слід застосовувати спільно.

У ряді випадків аналізу надійності ТС вдається скористатися методом розкладання щодо особливого елементу, заснованими на відомій в математичній логіці теоремі про розкладання функції логіки з будь аргументу. Згідно з нею, можна записати:


(3.27)


де p i і q i = 1 - p i - ймовірність безвідмовної роботи і відмови i - го елемента, Р (p i = 1) і Р (p i = 0)-ймовірності працездатного стану системи за умови, що i-й елемент абсолютно надійний і що i - й елемент відмовив.

Для мостиковой схеми (рис. 3.2, а) в якості особливого елементу доцільно вибрати діагональний елемент 3. При р 3 = 1 мостикового схема перетворюється в паралельно-послідовне з'єднання (рис. 3.5, а), а при р 3 = 0 - в послідовно-паралельне (рис. 3.5, б).


1

4

2

5

5

1

2

4



Рис. 3.5. Перетворення мостиковой схеми при абсолютно надійному (а)

і відмовив (б) центральному елементі.


Для перетворених схем можна записати:


(3.28)


(3.29)


Тоді на підставі формули (3.27) отримаємо:


(3.30)


Легко переконатись, що для равнонадежних елементів формула (3.30) звертається в (3.22).

Цим методом можна скористатися і при розкладанні щодо декількох «особливих» елементів. Наприклад, для двох елементів (i, j) вираз (3.27) прийме вигляд:


(3.31)

Ймовірність безвідмовної роботи мостиковой схеми (рис. 3.2, б) при розкладанні щодо діагональних елементів 3 і 6 по (3.31) визначиться:

(3.32)


Імовірність P (р 3 р 6) легко ставити, виконавши попередньо перетворені схеми, подібно рис 3.5, а, б.


3.5. Комбіновані системи


Більшість реальних ТЗ має складну комбіновану структуру, частина елементів якої утворює послідовне з'єднання, інша частина - паралельне, окремі гілки елементи або гілки структури утворюють мостіковие схеми або типу "m з n".

Метод прямого перебору для таких систем виявляється, практично не реалізуємо. Більш доцільно в цих випадках попередньо зробити декомпозицію системи, розбивши її на прості підсистеми - групи елементів, методика розрахунку надійності яких відома. Потім ці підсистеми - групи елементів, методика розрахунку надійності яких відома. Потім ці підсистеми в структурній схемі надійності замінюються квазіелементамі з імовірностями безвідмовної роботи, рівними обчисленим ймовірностям безвідмовної роботи цих підсистем. При необхідності таку процедуру можна виконати кілька разів, до тих пір, поки залишилися квазіелементи не утворюють структуру, методика розрахунку надійності якої також відома.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

B

C

F

E

D

11

19

18

17

16

15

14

13

1

А

G

19

19

E

1


Рис.3.6 Вихідна система

Рис.3.7 Перетворені системи

В якості прикладу розглянемо комбіновану
Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації