Завдання по кінематиці

1.doc (4 стор.)
Оригінал


  1   2   3   4




Кінематика


Предмет вивчення механіки - механічний рух, тобто зміна з часом взаємного розташування тіл або їх частин у просторі.

Рух відбувається в просторі і в часі.

Існує два види руху:

  1. поступальний (будь-яка пряма, жорстко скріплена з тілом, при русі переміщується паралельно самій собі);

  2. обертальний (будь-яка пряма, жорстко скріплена з тілом, при русі повертається на деякий кут).

Для опису руху необхідно ввести систему відліку, що представляє собою систему координат і систему відліку часу.

Кінематика - розділ механіки, що вивчає способи опису механічного руху незалежно від викликають його причин.


1. Кінематика поступального руху


Т раекторія - лінія, яку описує тіло або матеріальна точка, при своєму русі в просторі. По виду траєкторії рух буває прямолінійним або криволінійним. Окремим випадком криволінійного руху є рух по колу.

Шлях - Відстань, відраховані вздовж траєкторії. Шлях вимірюється в метрах, виражається позитивним числом і складається арифметично. = М.

.

Переміщення - Вектор, початок якого знаходиться в початковій точці, а кінець - в кінцевій точці руху. Як будь-який вектор, переміщення характеризується чисельним значенням (модулем) і напрямком, складаються переміщення за правилами додавання векторів, тобто геометрично. = М.

.

Якщо матеріальна точка за рівні, як завгодно малі проміжки часу , Проходить рівні ділянки шляху , То рух називають рівномірним.

Швидкість в цьому випадку .

У випадку нерівномірного руху в розгляд вводиться середня швидкість .

Швидкість в даний момент часу (миттєва швидкість):



Оскільки при описі руху необхідно враховувати не тільки чисельне значення швидкості, але і її напрямок, то під швидкістю розуміють векторну величину

.



Для модуля швидкості:

.

,

де , , - Складові швидкості, а , , - Орти декартової системи координат.

Прискорення - векторна величина, що характеризує зміну швидкості в часі ..

.

.

Враховуючи, що , Розглянемо три види руху.

1. (Рух прямолінійний нерівномірний)

.

Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем.

2. (Рух криволінійне рівномірне)



Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком.

3. (Рух нерівномірний криволінійне)

.

.

Рівноприскореного руху описується формулами:

.


2. Кінематика обертального руху


Д ля рівномірного прямолінійного руху швидкість характеризує швидкість зміни переміщення. Для обертального руху кутова швидкість визначає швидкість зміни кутового переміщення . Кутове переміщення є векторна величина, модуль якої дорівнює куту повороту, спрямований уздовж осі обертання так, щоб з його кінця поворот тіла було видно що відбувається проти годинникової стрілки.

Тоді кутова швидкість

, .

Напрям вектора і збігаються. Крім того, напрямок вибирається так, щоб, якщо дивитися з вершини , То рух повинен здаватися відбувається проти годинникової стрілки, тобто вектори лінійної швидкості , Кутової швидкості і радіус вектор точки повинні утворювати правовінтовую систему.

Зміна кутової швидкості характеризується кутовим прискоренням .

,

.

Для прискореного руху напрями векторів кутової швидкості та кутового прискорення збігаються, а для уповільненого - протилежні.

Слід зазначити, що вектори , і є псевдовекторамі, тому їх напрямки вибираються умовно.


  1. Зв'язок між величинами, що характеризують поступальний і обертальний рух

,

,



Часто замість кутової швидкості , Яку іноді називають круговий (кутовий, циклічної) частотою, використовують частоту , Пов'язану з круговою частотою співвідношенням .

.

У цьому випадку кут повороту звичайно виражають в кількості оборотів , При цьому, .

Рівноприскореного руху по окружності описується рівняннями:

або .


ЗАВДАННЯ

Задача 1

Тіло, кинуте вертикально вгору, повернулося на землю через с. Знайти висоту підйому тіла та його початкову швидкість.

Рішення

Д Віжен тіла вгору є равнозамедленним з прискоренням - g і відбувається протягом часу t 1, а рух вниз - рівноприскореному з прискоренням і відбувається протягом часу t 2. Рівняння, що описують рух на ділянках АВ і ВА, утворюють систему:



Оскільки , То . Підставивши в перше рівняння системи, отримаємо . Якщо порівняти цей вираз з третім рівнянням системи, то можна зробити висновок про те, що час підйому одно часу спуску с. Початкова швидкість і швидкість при приземленні рівні один одному і складають м / с.

Висота підйому тіла

м.


Завдання 2

Вільно падаюче тіло в останню секунду руху пройшло половину шляху. Знайти висоту, з якої воно кинуто і час руху.

Р ешеніе.

Залежність пройденого шляху від часу для вільно падаючого тіла . Оскільки ділянка НД, що складають половину всього шляху, пройдений за час, рівний 1 с, то перша половина шляху АВ пройдена за час с. Тоді рух на ділянці НД може бути описано як .

Вирішуючи систему отримаємо . Коріння цього рівняння з і с. Другий корінь не підходить, тому час руху, виходячи з умови задачі, повинна перевищувати одну секунду. Отже, тіло падало протягом 3,41 с і пройшло за цей час шлях м.

Завдання 3

З вежі висотою 25 м горизонтально зі швидкістю 10 м кинуто тіло. Знайти: 1) час падіння тіла, 2) на якій відстані від основи башти воно впаде, 3) швидкість в кінці падіння, 4) кут, який складе траєкторія тіла з землею в точці його приземлення.

Рішення

Рух тіла є складним. Воно бере участь у рівномірному русі по горизонталі і рівноприскореному з прискоренням по вертикалі. Тому ділянку АВ описується рівняннями:



Для точки А ці рівняння приймають вигляд:

з

Тоді м, а м / с.

Оскільки , То м / с.

Кут, який траєкторія складає із землею, дорівнює куту в трикутнику швидкостей в т. А, тангенс якого , Тому .

Завдання 4

Для тіла, кинутого з горизонтальною швидкістю м / с, через

час с після початку руху знайти: нормальне, тангенціальне і повне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії в цій точці.

Рішення

В ертікальная складова швидкості м / с

Швидкість в точці А:

, м / с.

Вектори утворюють трикутник швидкостей, а вектори - Трикутник прискорень. Як видно з малюнка, ці трикутники подібні, а це означає, що їх сторони пропорційні: .

Звідси, м / с 2,

м / с 2.

Нормальне прискорення , Тому радіус кривизни траєкторії

м.


Задача 5

Тіло кинуто зі швидкістю м / с 2 під кутом до горизонту. На яку висоту тіло підніметься. На якій відстані від місця кидання воно впаде на землю? Який час він буде в русі?

Рішення

Г
орізонтальная і вертикальна складові початкової швидкості




Рух на ділянці ОА можна розкласти на два простих рухи: рівномірний по горизонталі і равнозамедленное по вертикалі:

У точці А .

Тоді і .

Якщо тіло бере участь одночасно в декількох рухах, то в кожному з них воно бере участь незалежно від іншого, отже, час руху на ділянці АВ визначається часом руху вниз - . На підставі висновку, зробленого в задачі 4, час руху вгору одно часу руху вниз, а, значить, з с.

При рівномірному русі по горизонталі за рівні проміжки часу тіло проходить рівні ділянки шляху, отже,

м.

Дальність польоту м.

Висота підйому тіла м.


Задача 6

Колесо обертається равноускоренно з кутовим прискоренням 3 рад / с 2. Визначити, який кутової швидкості досягне тіло після 3 із свого обертання? Скільки обертів воно при цьому зробить?

Рішення

Якщо тіло обертається равноускоренно, то його рух описує наступна система рівнянь

У початковий момент тіло покоїлося, значить, . Тоді .

Отже, рад / с.

Кількість оборотів обороту.


Задача 7

Вентилятор обертався з частотою 900 об / хв. Після виключення вентилятор, обертаючись равнозамедленно, зробив до зупинки 75 об. Який час пройшло з моменту виключення до зупинки вентилятора? З яким кутовим прискоренням він рухався?

Рішення

Равнозамедленное рух вентилятора описується наступною системою рівнянь

Оскільки вентилятор зупинився, то його кінцева частота . Тоді висловимо з другого рівняння і, підставивши його в перше рівняння, а також враховуючи, що об / хв = 15 об / с, отримаємо

рад / с 2.

Час руху одно с.

Задача 8

Точка обертається по колу радіусом 20 см з постійним тангенціальним прискоренням 5 см / с 2. Через який час після початку обертання нормальне прискорення точки буде вдвічі більше тангенціального?

Рішення

Кутова швидкість точки при рівноприскореному русі може бути знайдена зі співвідношення . Так як , То . Нормальне прискорення . Тангенціальне прискорення . За умовою задачі , Тоді , Отже, і с.

Задача 9

Точка рухається по колу радіусом 2 см. Залежність шляху від часу дається рівнянням , Де С = 0,1 см / с 3. Знайти нормальне і тангенціальне прискорення точки в той момент, коли лінійна швидкість точки 0,3 м / с.

Рішення

Залежність шляху від часу дозволяє знайти залежності від часу швидкості і тангенціального прискорення.

, .

Звідси, с.

Тоді тангенціальне прискорення м / с 2.

Нормальне прискорення м / с 2.



Завдання 10

Точка рухається по колу радіусом R = 4 м. Початкова швидкість точки дорівнює 3 м / с, тангенціальне прискорення a τ = 1 м / с 2. Для моменту часу t = 2 с визначити: а) довжину шляху, пройденого точкою, б) модуль переміщення; в) лінійну і кутову швидкості; г) нормальне, повне і кутове прискорення.




Рішення

Рівняння залежності шляху, пройденого точкою, від часу має вигляд (М). Це дозволяє знайти довжину шляху м. Якщо врахувати, що за один оборот точка проходить шлях, рівний довжині кола м, то можна знайти кутове переміщення точки з пропорції , (Радий) = 114,7 0. Тоді модуль переміщення може бути знайдений по теоремі косинусів як хорда, стягуюча цей кут .

м.

Лінійна швидкість точки м / с.

Кутова швидкість рад / с.

Нормальне прискорення м / с 2.

Повне прискорення . Модуль повного прискорення

м / с 2.

Кутове прискорення рад / с 2.

Задача 11

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 36 км / год, проходить закруглене шосе з радіусом кривизни 200 м. На повороті шофер гальмує машину, повідомляючи їй прискорення 0,3 м / с 2. Знайти нормальне і повне прискорення автомобіля на повороті. Знайти кут між вектором повного прискорення автомобіля на повороті і вектором його швидкості. Які кутові швидкість і прискорення автомобіля в момент входження машини в поворот?

Рішення

З ная швидкість автомобіля км / год = 10 м / с, знайдемо його нормальне прискорення

м / с 2.

Повне прискорення автомобіля м / с 2.

Кутове прискорення

рад / с 2.

Кутова швидкість

рад / с.

Оскільки рух автомобіля уповільнене, то вектори швидкості і тангенціального прискорення направлені в протилежні сторони, тому вектор швидкості та вектор повного прискорення утворюють тупий кут . Для знаходження цього кута визначимо спочатку кут , Що доповнює шуканий кут до 180 0.

.


Задача 12

І з вертольота, що знаходиться на висоті = 300 м, скинули вантаж. Через який час вантаж досягне землі, якщо: а) вертоліт нерухомий; б) вертоліт опускається зі швидкістю 5 м / с; 3) вертоліт піднімається зі швидкістю 5 м / с. Описати графічно відповідні руху вантажу в осях , і .

Рішення

а) Вантаж, який залишив нерухомий вертоліт, вільно падає, тобто рухається равноускоренно з прискоренням вільного падіння . Час руху знайдемо із співвідношення . Звідки с. Графіки рух об'єкта відзначені 1 на малюнку.

б) Рух вантажу, який покинув вертоліт, який опускається з постійною швидкістю 5 м / с, є рівноприскореному рухом з постійним прискоренням і описується рівнянням . Підстановка чисельних значень дає рівняння .

.

Негативний результат не має фізичного сенсу, тому час руху с.

Графіки рух об'єкта відзначені 2 на малюнку.

3) Рух вантажу, який покинув вертоліт, який піднімається з постійною швидкістю 5 м / с, Складається з двох етапів. На першому етапі - вантаж рухається равнозамедленно з постійним прискоренням , Спрямованим протилежно швидкості, і описується рівняннями .

У верхній точці траєкторії швидкість стає рівною нулю, тому .

Підставляючи друге рівняння системи в перше, отримаємо м.

На другому етапі - вільне падіння з висоти м.

Оскільки , То м.

Графіки рух об'єкта відзначені 3 на малюнку.


ДИНАМІКА

ЗАВДАННЯ

Задача 1

До нитки підвішений вантаж масою кг. Знайти силу натягу нитки Т, якщо 1) нитка з вантажем спочиває; 2) рухається вниз з прискоренням a = 5 м / с 2; 3) рухається вгору з прискоренням a = 5 м / с 2.

Навчальний матеріал
© uadoc.zavantag.com
При копіюванні вкажіть посилання.
звернутися до адміністрації